Ciągłość, różniczkowalność, gładkość, analityczność funkcji jednej zmiennej

Definicje

 * funkcję $$f: X \to Y$$ nazywamy ciągłą, jeśli jest ciągła we wszystkich punktach $$x \in X$$ (patrz [ciaglosc])
 * funkcję $$f: X \to Y$$ nazywamy różniczkowalną, jeśli posiada pochodną we wszystkich punktach $$x \in X$$ (patrz [pochodna])
 * funkcję $$f: X \to Y$$ nazywamy $$n$$-krotnie różniczkowalną, jeśli $$(n-1)$$ pochodna posiada pochodną $$\forall x \in X$$ (jest to definicja rekurencyjna)
 * funkcję $$f: X \to Y$$ nazywamy gładką, jeśli jest n-krotnie różniczkowalna dla każdego $$n \in \mathbb N$$
 * funkcję $$f: X \to Y$$ nazywamy analityczną, jeśli jest funkcją gładką, taką że szereg Taylora zbiega punktowo do wartości funkcji w każdym punkcie dziedziny, czyli: $$\forall_{x \in X} T(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n} = f(x)$$

Przykłady braku implikacji

 * ciągła, ale nieróżniczkowalna
 * podstawowy: $$f(x) = |x|$$
 * zaawansowany: funkcja Weierstraßa zdefiniowana jest jako $$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x),$$ gdzie $$a \in (0,1)$$ natomiast $$b$$ jest liczbą nieparzystą, spełniającą warunek $$ab>1+\tfrac{3}{2}\pi.$$
 * różniczkowalna, ale nie gładka
 * podstawowy:
 * zaawansowany:
 * gładka, ale nie analityczna
 * podstawowy: $$f(x)=\begin{cases}\exp(-1/x)&\text{if }x>0,\\ 0&\text{if }x\le0,\end{cases}$$
 * zaawansowany: $$F(x):=\sum_{k\in A} e^{-\sqrt{k}}\cos(kx)$$