Twierdzenia o wartości średniej

  Twierdzenie Lagrange’a Jeśli dana funkcja $$f:{\mathbb R}\to {\mathbb  R}$$ jest ciągła w przedziale $$[a,b]$$ oraz różniczkowalna w przedziale $$(a,b)$$, to istnieje taki punkt $$c\in (a,b)$$, że: $${\frac  {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c).$$   Twierdzenie Cauchy’ego Jeśli dane funkcje $$f,g:{\mathbb R}\to {\mathbb  R}$$ są ciągłe w przedziale $$[a,b]$$ oraz różniczkowalne w przedziale $$(a,b)$$, to istnieje taki punkt $$c\in (a,b)$$, że: $$\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$$   interpretacja geometryczna jeśli poprowadzimy prostą przez dwa punkty leżące na wykresie funkcji $$f$$, to styczna do wykresu $$f$$ w pewnym punkcie leżącym pomiędzy wybranymi punktami jest równoległa do prostej przez te punkty   Twierdzenie Lagrange’a dla funkcji wielu zmiennych: Niech $$G$$ będzie otwartym podzbiorem $$\mathbb{R}^n$$, a $$f : G \to \mathbb R$$ funkcją różniczkowalną. Dla ustalonych punktów $$x,y \in G$$, takich że $$(x,y) \subset G$$ definiujemy $$g(t)=f((1-t)x + ty)$$. Z twierdzenia dla jednej zmiennej mamy: $$g(1) - g(0) = g'(c)$$ dla pewnego $$c \in (0,1)$$. Zatem: $$f(y) - f(x) = \nabla f ((1- c)x + cy) \cdot (y - x)$$ oraz $$|f(y) - f(x)| \le |\nabla f ((1- c)x + cy)| \, |y - x|.$$   Twierdzenia o wartości średniej dla całek   Pierwsze Twierdzenie Jeżeli funkcja $$f$$ jest ograniczona: $$m\leq f(x)\leq M$$, i całkowalna, to istnieje taka liczba $$m\leq \mu \leq M$$, że: $$\int \limits _{a}^{b}f(x)\ dx=\mu (b-a).$$ W przypadku gdy funkcja $$f$$ jest ciągła, tezę twierdzenia można wzmocnić następująco: istnieje punkt $$c\in [a,\ b]$$ taki, że $$\int \limits _{a}^{b}f(x)\ dx=f(c)(b-a).$$   Uogólnienie pierwszego twierdzenia Jeżeli funkcje $$f,g$$ są całkowalne, $$f$$ jest ograniczona: $$m\leq f(x)\leq M$$, a $$g$$ zachowuje znak w tym przedziale, to $$\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\ dx=\mu \int \limits _{a}^{b}~g(x)\ dx.$$ Jak poprzednio, w sytuacji, gdy $$f$$ jest funkcją ciągłą, w tezie twierdzenia można postulować istnienie takiego punktu $$c\in [a,\ b]$$, że: $$\int \limits _{a}^{b}~f(x)g(x)\ dx=f(c)\int \limits _{a}^{b}~g(x)\ dx.$$   Drugie twierdzenie Jeżeli funkcja $$f$$ jest monotonicznie malejąca i nieujemna, a $$g$$ całkowalna, to istnieje taki punkt $$c\in [a,\ b]$$, że: $$\int \limits _{a}^{b}~f(x)g(x)\ dx=f(a)\int \limits _{a}^{c}~g(x)\ dx+f(b)\int \limits _{c}^{b}~g(x)\ dx.$$ </li></ul> </li>  Twierdzenie Lebesgue’a o różniczkowaniu całki. <ul>  Jeżeli funkcja $$f$$ jest całkowalna w sensie Lebesgue’a na przedziale $$[a,b]$$, to jej pierwotna $$\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$$ ma pochodną w tym przedziale prawie wszędzie równą $$f(x)$$. Na odwrót, jeżeli funkcja $$F$$ jest różniczkowalna w przedziale $$[a,b]\;$$ a jej pochodna $$F\,^(x)=f(x)$$ jest ograniczona w przedziale $$[a,b]\;$$, to $$f$$ jest całkowalna w sensie Lebesgue’a </li>  Zdefiniujmy pochodną z całki jako: $$\lim_{B \rightarrow x} \frac{1}{|B|} \int_{B}f \, \mathrm{d}\lambda,$$ gdzie $$|B|$$ oznacza objętość (czyli miarę Lebesgue) kuli $$B$$ o środku w $$x$$, a $$B \to 0$$ oznacza iż średnica kuli dąży do zera. W tym przypadku twierdzenie Lebesgue’a głosi, że całka jest różniczkowalna prawie wszędzie w $$\mathbb R^n$$ </li></ul> </li></ul>