Całka

  Funkcję $$\displaystyle F\colon D\longrightarrow\mathbb{R}$$ nazywamy funkcją pierwotną funkcji $$\displaystyle f$$, jeśli $$\displaystyle F$$ jest różniczkowalna i $$\displaystyle F'=f$$.   Twierdzenie Newtona-Leibniza $$\int\limits_a^b f(x)\; \operatorname dx = F(b) - F(a).$$   $$\int f^\prime(x)g(x)dx=f(x)g(x)-\int f(x)g^\prime(x)dx.$$   $$\int f\bigl(g(t)\bigr)g^\prime(t)\; \operatorname dt=F(g(t))+C$$    Całka Riemanna   Podziałem $$P$$ przedziału $$[a,b]$$ nazywa się ciąg skończony $$(p_{0},\dots ,p_{n})$$ spełniający warunek: $$a=p_{0}  Niech dana będzie funkcja ograniczona $$f\colon [a,b]\to {\mathbb R}$$. Sumą częściową (Riemanna) nazywa się liczbę: $$R_=\sum _^{n}f(q_{i})\cdot \Delta p_{i}$$ </li>  Funkcję $$f$$ nazywa się całkowalną w sensie Riemanna lub krótko R-całkowalną, jeśli dla dowolnego ciągu normalnego $$(P^{k})$$ podziałów przedziału $$[a,b]$$, istnieje granica: $$\exists_{R_{f}} \forall_{(P^{k}) - normalny} \quad R_{f}=\lim _R_$$ zwana całką Riemanna. </li>  całka Riemanna bez funkcji pierwotnej </li></ul> </li>  Całka Lebesgue’a   przestrzeń mierzalna Jeżeli $$X$$ jest ustalonym zbiorem, to rodzinę $${\mathcal {F}}$$ złożoną z jego podzbiorów nazywa się $$\sigma $$-ciałem (podzbiorów zbioru $$X$$), gdy $${\mathcal  {F}}$$ jest przeliczalnie addytywne ciało podzbiorów zbioru $$X$$, tzn.   zbiór pusty należy do $${\mathcal F}\colon$$ $$\emptyset \in {\mathcal F}$$ </li>  dopełnienie zbioru należącego do $${\mathcal F} $$należy do $${\mathcal  F}\colon $$ $$A\in {\mathcal F}\Rightarrow X\setminus A\in {\mathcal  F}$$ </li>  suma przeliczalnie wielu zbiorów należących do $${\mathcal F}$$ należy do $${\mathcal  F}\colon $$ $$A_{1},A_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}\Rightarrow \bigcup _^{\infty }A_{i}\in {\mathcal  F}$$ </li></ul>

$$X$$ z $$\sigma$$-ciałem $${\mathcal {F}}$$, tzn. parę $$(X,{\mathcal F})$$ nazywa się przestrzenią mierzalną. Przestrzeń (mierzalna) z miarą to trójka uporządkowana $$(X,{\mathcal F},\mu )$$, gdzie $$(X,{\mathcal  F})$$ jest przestrzenią mierzalną, a $$\mu \colon {\mathcal  F}\to [0,\infty ]$$ miarą, czyli funkcją spełniającą:   $$\mu (\emptyset )=0$$, </li>  $$\mu (\bigcup \limits_^A_{n})=\sum _^{\infty }\mu (A_{n})$$ </li></ul>

dla każdej rodziny zbiorów parami rozłącznych $$A_{1},A_{2},A_{3},\ldots \in {\mathcal {F}}.$$. </li>  funkcja jest mierzalna, jeżeli przeciwobraz dowolnego zbioru mierzalnego jest mierzalny </li>  całka Lebesgue’a dla funkcji charakterystycznych Wartością całki z funkcji charakterystycznej $$\chi_A$$ zbioru mierzalnego $$A$$ jest miara tego zbioru: $$\int \chi_A \;\operatorname d\mu := \mu(A)$$ Wynik może być równy $$+\infty$$, o ile $$\mu$$ nie jest miarą skończoną. </li>  całka Lebesgue’a dla funkcji prostych Jeżeli $$f$$ jest nieujemną funkcją prostą (kombinacją liniową funkcji charakterystycznych), to całkę Lebesgue’a tej funkcji definiuje się wzorem $$\int f \;\operatorname d\mu := \int \sum_{i = 1}^n a_i \chi_{A_i} = \sum_{i=1}^n a_i \int \chi_{A_i} = \sum_{i=1}^n a_i \mu(A_i).$$ Całkę Lebesgue’a z dowolnej funkcji prostej $$g$$ definiuje się jako $$\int g := \int g^+ - \int g^-.$$ </li>  całka Lebesgue’a dla funkcji mierzalnych Całkę Lebesgue’a nieujemnej funkcji mierzalnej $$g$$ określa się jako $$\int g := \sup \Bigg\{\int f\colon f \text{ jest nieujemną funkcją prostą taką, że } f \leq g \Bigg\}.$$ Definicja całki Lebesgue’a z dowolnej funkcji mierzalnej $$h$$: $$\int h := \int h^+ - \int h^-,$$ </li> <li> całkę Lebesque’a na zbiorze mierzalnym $$E \in \mathfrak M$$ z funkcji mierzalnej $$f$$ na zbiorze mierzalnym określa się jako: $$\int\limits_E f := \int f \chi_E,$$ gdzie $$\chi_E$$ oznacza funkcję charakterystyczną zbioru $$E$$. </li> <li></li></ul> </li> <li> całka jako funkcjonał liniowy <ul> <li> Funkcjonał to przekształcenie z przestrzeni wektorowej w ciało skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń </li> <li> Całka jest funkcjonałem, gdyż przyporządkowuje funkcjom (czyli elementom przestrzeni funkcji) liczby rzeczywiste. </li> <li> Całka jest przekształceniem liniowym, gdyż jest addytywna i jednorodna. </li></ul> </li></ul>