Przestrzenie i przekształcenia liniowe

  przestrzeń liniowa nad ciałem $$K$$ jest strukturą matematyczną $$(V, K, +, \cdot, \boldsymbol +, \boldsymbol \cdot)$$, w której:   $$(V, \boldsymbol +) $$ jest grupą abelową,   $$(K, +, \cdot)$$ jest ciałem, 

wyposażoną w działanie $$\boldsymbol \cdot \colon K \times V \to V$$ (wyżej nieoznaczane) spełniające aksjomaty:   Mnożenie przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorów: Dla każdego $$a \in K$$ oraz $$\mathbf v, \mathbf w \in V$$ jest $$a(\mathbf v \boldsymbol + \mathbf w) = a\mathbf v \boldsymbol + a\mathbf w$$.   Mnożenie przez wektor jest rozdzielne względem dodawania skalarów: Dla każdych $$a, b \in K$$ oraz $$\mathbf v \in V$$ zachodzi $$(a + b)\mathbf v = a\mathbf v \boldsymbol + b\mathbf v$$.   Mnożenie przez skalar jest zgodne z mnożeniem skalarów: Dla dowolnych $$a, b \in K$$ oraz $$\mathbf v \in V$$ jest $$a(b\mathbf v) = (a \cdot b)\mathbf v$$.   Mnożenie przez skalar ma element neutralny: Dla dowolnego $$\mathbf v \in V$$ jest $$1\mathbf v = \mathbf v$$, gdzie $$1$$ oznacza element neutralny mnożenia w $$K$$.+ </li></ul> </li>  Zbiór wektorów nazywamy liniowo niezależnym jeśli żaden wektor należący do tego zbioru nie może być przedstawiony jako liniowa kombinacja skończenie wielu wektorów z tego zbioru. </li>  baza przestrzeni liniowej $$V$$ - maksymalny ze względu na zawieranie liniowo niezależny podzbiór tej przestrzeni.   warunek równoważny: każdy niezerowy element przestrzeni $$V$$ może zostać zapisany jako kombinacja liniowa wektorów z bazy </li></ul> </li>  Funkcję $$\scriptstyle \mathrm A\colon U \to V$$ nazywa się przekształceniem liniowym, jeżeli jest   addytywna (zachowuje dodawanie wektorów): $$\mathrm A(\mathbf x + \mathbf y) = \mathrm A(\mathbf x) + \mathrm A(\mathbf y),$$ </li>  jednorodna (zachowuje mnożenie przez skalar): $$\mathrm A(c\mathbf x) = c\mathrm A(\mathbf x).$$ </li></ul>

Powyższe łączy się często w jeden, równoważny z nimi warunek liniowości: $$\mathrm A(c\mathbf x + d\mathbf y) = c\mathrm A(\mathbf x) + d\mathrm A(\mathbf y)$$. Przekształcenie liniowe jest homomorfizmem przestrzeni liniowych. </li>  Ponieważ każdy wektor można przedstawić jako kombinację liniową wektorów z bazy, to przekształcenie liniowe wystarczy zdefiniować na wektorach z bazy. Dla przestrzeni skończenie wymiarowych można to zrobić w postaci macierzowej: Niech $$A = (a_1, \dots, a_n), B = ( b_1, \dots, b_m)$$ będą bazami odpowiednio przestrzeni $$U$$ i $$V$$ nad ciałem $$K$$. Macierzą przekształcenia $$\mathrm T : U \to V$$ w bazach $$A, B$$ nazywa się taką macierz $$\mathbf T_A^B = [t_{ij}]$$ typu $$ m \times n$$ o współczynnikach z $$K$$, że: dla każdego $$ j = 1, \dots, n$$ zachodzi: $$\mathrm T(\mathbf a_j) = \sum_{i = 1}^m t_{ij} \mathbf b_i,$$ tzn. w $$ j$$-tej kolumnie macierzy $$\mathbf T_A^B$$ stoją współrzędne wektora $$ \mathrm T(\mathbf a_j)$$ w bazie $$ B.$$ </li>  Niech $$ \mathrm T$$ będzie endomorfizmem $$V$$, tzn. przekształceniem liniowym $$V$$ w siebie. Jeśli dla pewnego niezerowego wektora $$v$$ przestrzeni spełniony jest warunek: $$\mathrm Tv = \lambda v,$$ gdzie $$\lambda$$ jest pewnym skalarem, to $$v$$ nazywa się wektorem własnym, a $$ \lambda$$ nazywa się wartością własną przekształcenia $$ \mathrm T.$$ Danej wartości własnej $$ \lambda$$ operatora $$ \mathrm T$$ odpowiada zbiór: $$X_\lambda(T) = \{x\in X\colon Tx = \lambda x\}$$ nazywany podprzestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej $$\lambda,$$   wartości własne są pierwiastkami jej wielomianu charakterystycznego $$w_\mathbf A(\lambda) = \det(\mathbf A - \lambda \mathbf I)$$ gdzie $$ \mathbf I$$ jest macierzą jednostkową. Mając do dyspozycji wartości własne $$ \lambda_1, \dots, \lambda_n$$ można obliczyć odpowiadające im wektory własne $$\mathbf x_1, \dots, \mathbf x_n$$ rozwiązując równania postaci $$(\mathbf A - \lambda_i \mathbf I) \cdot \mathbf x_i = 0$$ ze względu na wektory $$ \mathbf x_i.$$ </li></ul> </li>  Macierzą Jordana macierzy $$A$$ nazywamy macierz klatkową postaci: $$J = \begin{bmatrix} J_1 & \;    & \; \\ \; & \ddots & \; \\ \; & \;     & J_p\end{bmatrix}$$ w której każdy blok $$J_i$$ (zwany klatką Jordana) jest macierzą kwadratową postaci $$J_i = \begin{bmatrix} \lambda_i & 1           & \;     & \;  \\ \;       & \lambda_i    & \ddots & \;  \\ \;       & \;           & \ddots & 1   \\ \;       & \;           & \;     & \lambda_i \end{bmatrix}$$ gdzie $$\lambda_i$$ są wartościami własnymi macierzy.   Macierze $$A$$ i $$B$$ nazywamy podobnymi, jeśli istnieje macierz nieosobliwa $$P$$ t. że: $$B=P^{-1}AP$$ </li>  Rozkład Jordana to przedstawienie macierzy $$A$$ w postaci iloczynu trzech macierzy $$A= P J P^{-1}$$, gdzie $$J$$ jest macierzą Jordana, a $$P$$ pewną macierzą nieosobliwą, której niektórymi kolumnami sa wektory własne macierzy $$A$$ </li> <li></li></ul> </li></ul>