Pojęcie pochodnej

  Definicja Mówimy, że funkcja $$\displaystyle f$$ jest różniczkowalna w punkcie $$\displaystyle  x_0 \in (a,b)$$, jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego $$\displaystyle  \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$$   własności   iloczyn pochodnej przez stałą, $$(af)'(x) = af'(x)\;$$   pochodną sumy funkcji (addytywność) $$(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)\;$$   pochodną iloczynu funkcji (reguła Leibniza) $$(fg)'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)\;$$   pochodną złożenia funkcji (reguła łańcuchowa) $$f'(x) = h'\bigl(g(x)\bigr) g'(x) \quad\text{ dla }\quad f(x) = h(g(x)).$$   pochodną funkcji odwrotnej $$\left(f^{-1}\right)'(y) = \bigl(f'(x)\bigr)^{-1}, \quad\text{ o ile }\quad f'(x) \ne 0.$$   pochodną odwrotności funkcji (reguła odwrotności) $$\left(\tfrac{1}{g(x)}\right)' = \frac{-g'(x)}{g^2(x)}, \quad\text{ o ile }\quad g(x) \ne 0$$ </li>  pochodną ilorazu funkcji (reguła ilorazu) $$\left(\tfrac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}, \quad\text{ o ile }\quad g(x) \ne 0$$ </li></ul></li>  Pochodna jako najlepsza aproksymacja liniowa?? </li>  Geometryczny i mechaniczny sens pochodnej <ul>  geometryczny - tangens stycznej </li>  fizyczny - prędkość chwilowa, chwilowe natężenie prądu </li></ul></li>  Zastosowania pochodnej <ul>  monotoniczność, wypukłość </li>  ekstrema Jeśli funkcja $$\displaystyle f:(a,b)\mapsto\mathbb{R}$$ osiąga ekstremum w punkcie $$\displaystyle  x_0\in (a,b)$$ i jest różniczkowalna w punkcie $$\displaystyle  x_0$$, to pochodna $$\displaystyle  f'(x_0)=0$$. </li>  Wzór Taylora: $$ f(x) = f(a) + \frac{x-a}{1!} f^{(1)}(a) + \frac{(x-a)^2}{2!} f^{(2)}(a) + \ldots + \frac{(x-a)^n}{n!} f^{(n)}(a) + R_n(x,a)$$ $$= \sum\limits_{k=0}^n \left( \frac{(x-a)^k}{k!} f^{(k)}(a) \right) + R_n(x,a)$$ </li>  Reguła de l’Hospitala Niech $$\displaystyle f,g: (a,b) \mapsto \mathbb{R}$$ będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale $$\displaystyle (a,b)$$, przy czym $$\displaystyle -\infty\leq a<b\leq \infty$$. Załóżmy, że istnieje granica ilorazu pochodnych $$\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$ i jest równa $$\displaystyle c\in \overline{\mathbb{R}}$$. Jeśli istnieją granice funkcji $$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=0 \text{ oraz }\lim_{x\to a }g(x)=0$$ to istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie $$\displaystyle a$$ i jest równa granicy ilorazu pochodnych w tym punkcie, tj. $$\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=c$$ </li>  Twierdzenie Rolle’a Niech $$\displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb{R}$$ będzie funkcją ciągłą w przedziale domkniętym $$\displaystyle  [a,b]$$ i różniczkowalną wewnątrz tego przedziału. Wówczas: $$\displaystyle f(a)=f(b) \Longrightarrow \exists_{\xi\in(a,b)} \; \displaystyle  f'(\xi)=0$$ </li></ul></li>  Pochodne cząstkowe i kierunkowe funkcji wielu zmiennych <ul>  Jeżeli istnieje skończona granica $$\lim_{h \to 0} \frac{f(a_1, \dots, a_k+h, \dots, a_n) - f(a_1, \dots, a_k, \dots, a_n)}{h}$$ to nazywa się ją pochodną cząstkową funkcji $$f$$ w punkcie $$\mathrm a$$ względem zmiennej $$a_k$$ i oznacza $$\frac{\partial f}{\partial a_k}$$ </li>  Funkcja $$\mathrm f\colon U \to \mathbb R^m$$ ma pochodną kierunkową wzdłuż wektora jednostkowego $$\mathbf u \in \mathbb R^n$$ w punkcie $$\mathrm x \in U$$, jeżeli istnieje i jest skończona granica $$\frac{\partial \mathrm f(\mathrm x)}{\partial \mathbf u} = \lim_{t \to 0}\frac{\mathrm f(\mathrm x + t\mathbf u) - \mathrm f(\mathrm x)}{t},$$ gdzie $$t \in \mathbb R$$. </li></ul></li>  różniczka przekształcenia $$f:^n\to^m$$ Jeśli chodzi o macierz Jacobiego, to jest to: $$\displaystyle \left[ \begin{array}{rrrr}  \displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x_2}(a) & \dots & \displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x_n}(a)\\ \displaystyle \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(a) & \displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial x_2}(a) & \dots & \displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial x_n}(a)\\ \displaystyle \dots & \dots & \dots & \dots\\ \displaystyle \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(a) & \displaystyle\frac{\partial f_m}{\partial x_2}(a) & \dots & \displaystyle\frac{\partial f_m}{\partial x_n}(a) \end{array} \right]$$ </li> </ul>