Podstawowe pojęcia topologii spójność, zwartość, zupełność

Podstawowe pojęcia
  Niech dany będzie niepusty zbiór $$X$$, który dalej nazywany będzie przestrzenią. Rodzinę zbiorów $$\mathcal{T}$$ zawartą w zbiorze potęgowym zbioru $$X$$ nazywa się topologią na tym zbiorze, jeśli spełnia ona następujące aksjomaty:   $$X\in \mathcal{T} ,\varnothing \in \mathcal{T} $$   $$U,V\in \mathcal{T} \implies U\cap V\in \mathcal{T}$$   $${\mathcal A}\subseteq \mathcal{T} \implies \bigcup {\mathcal  A}\in \mathcal{T}$$ 

Wówczas parę $$(X,\mathcal{T} )$$ nazywa się przestrzenią topologiczną. Elementy rodziny $$\mathcal{T}$$ nazywa się podzbiorami otwartymi, a ich dopełnienia noszą nazwę podzbiorów domkniętych.   Wnętrzem (ang. interior) zbioru $$A$$ nazywa się zbiór największy (w sensie zawierania) zbiór otwarty zawarty w $$A$$, $$\operatorname {int}\;A:=\bigcup \{U\in \mathcal{T} \colon U\subseteq A\}.$$   Domknięcie (ang. closure) zbioru $$A$$ to najmniejszy (w sensie zawierania) zbiór domknięty zawierający zbiór $$A$$, $$\operatorname {cl}\;A:=\bigcap \{F\colon F\supseteq A\land F^{\operatorname c}\in \mathcal{T} \}$$   Kula w danej przestrzeni metrycznej $$(X,\varrho )$$, jest zbiorem elementów tej przestrzeni, zdefiniowanym jako: $${K}_=\{ x:\varrho (x,x_0) < r\}$$ dla pewnych $$x \in X,\ r>0$$, które nazywamy odpowiednio środkiem i promieniem kuli. </li></ul>

Spójność
  Definicje   Przestrzeń $$(X, \mathcal{T})$$ jest spójna jeśli nie da się jej przedstawić jako sumy dwóch rozłącznych zbiorów domkniętych (równoważnie otwartych). </li>  Zbiór $$S \subset X$$ jest spójny jeśli podprzestrzeń $$(S, \mathcal{T}_S)$$ jest spójna. Zbiór $$S \in X$$ jest spójny wtw. gdy: $$\forall_{A,B} S = A \cup B \left( \overline A \cap B \neq \emptyset \wedge A \cap \overline B \neq \emptyset \right)$$ </li>  drogą z łączącą punkty $$a,b \in X$$ nazywamy funkcję ciągłą $$f: [0,1] \to X$$ taką, że $$f(0) = a$$, $$f(1)=b$$ </li>  Przestrzeń topologiczna $$(X, \mathcal{T})$$ jest łukowo spójna jeśli każdą parę punktów $$a,b \in X$$ można połączyć drogą </li>  Spójną składową w $$(X, \mathcal{T})$$ nazywamy taki zbiór $$S$$, że żaden żaden zbiór w $$X$$ zawierający w istotny sposób $$S$$ nie jest spójny </li></ul> </li>  Własności   zbiór spójnych składowych w $$(X, \mathcal{T})$$ stanowi rozbicie tej przestrzeni na zbiory rozłączne </li>  każda łukowo spójna przestrzeń jest spójna </li>  domknięcie zbioru spójnego jest spójne </li></ul> </li>  Przykłady   spójnych <ul> <li> prosta i płaszczyzna </li> <li> odcinek </li></ul> </li> <li> niespójnych <ul> <li> suma rozłącznych przedziałów </li> <li> dyskretna przestrzeń topologiczna </li></ul> </li> <li> spójnych, ale niespójnych łukowo <ul> <li>Sinusoida zagęszczona (warszawska) </li></ul> </li></ul> </li></ul>

Zwartość
<ul> <li> Niech $${\mathcal K}$$ będzie niepustą rodziną zbiorów oraz $$K\in {\mathcal  K}.$$ Pokryciem zbioru K nazywamy każdą rodzinę $${\mathcal  A}\subseteq {\mathcal  K}$$ taką, że $$K\subseteq \bigcup {\mathcal  A}$$. Pokrycie składające się ze zbiorów otwartych nazywa się pokryciem otwartym. </li> <li> Punkt $$a \in X$$ jest punktem skupienia ciągu $$(a_n)_{n=1}^{\infty}$$ w $$X$$ jeśli każde otoczenia $$a$$ zawiera nieskończenie wiele wyrazów ciągu $$a_n$$. </li> <li> Przestrzeń topologiczną nazywamy zwartą jeśli spełnia jeden z równoważnych warunków <ul> <li> z każdego pokrycia otwartego przestrzeni $$X$$ można wybrać podpokrycie skończone </li> <li> z każdego ciągu punktów w $$X$$ można wybrać podciąg zbieżny w tej przestrzeni (wymaga metryzowalności przestrzeni) </li></ul> </li> <li> własności: <ul> <li> [twierdzenie Weierstrassa] funkcja ciągła określona na przestrzeni zwartej, jest ograniczona i przyjmuje swoje kresy </li> <li> każda metryczna przestrzeń zwarta jest zupełna </li> <li> [Twierdzenie Tichonowa] Iloczyn kartezjański przestrzeni zwartych (z topologią produktową z tych przestrzeni) jest zwarty. </li> <li> [twierdzenie Heinego-Borela] Podzbiór przestrzeni euklidesowej jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest domknięty i ograniczony </li></ul> </li> <li> przykłady: <ul> <li> przestrzeni zwartych: <ul> <li> odcinek domknięty </li> <li> przestrzeń skończona </li> <li> sfera </li></ul> </li> <li> przestrzeni niezwartych <ul> <li> nieskończona przestrzeń dyskretna </li> <li> prosta euklidesowa </li> <li> liczby wymierne w $$[0,1]$$ </li></ul> </li></ul> </li></ul>

zupełność

 * Definicje
 * Ciąg $$ (a_{i})$$ w przestrzeni metrycznej $$ (X,d) $$ nazywamy ciągiem Cauchy’ego jeśli: $$\forall _\;\exists _\;\forall _\;d(a_{m},a_{n})<\varepsilon .$$ Definicję ciągu Cauchy’ego można wyrazić również za pomocą średnicy zbioru: jeżeli $$ A_{k}=\{a_{k},a_,a_,\dots \}$$, to $$(a_{i})$$ jest ciągiem Cauchy’ego, gdy $$\lim _\;\operatorname {diam}\;A_{k}=0.$$
 * Przestrzeń metryczną $$(X,d)$$ nazywamy przestrzenią zupełną, jeśli każdy ciąg Cauchy’ego jest w niej zbieżny.
 * Własności
 * Twierdzenie Banacha
 * Każda przestrzeń zwarta jest zupełna
 * Przykłady
 * zupełnych
 * prosta euklidesowa (ona nie jest zwarta)
 * przestrzeń Hilberta $$(l_2, d_h)$$, czyli przestrzeń ciągów $$a=(a_n)_{n=1}^{\infty}$$ sumowalnych z kwadratem (czyli $$\sum_{i=1}^{\infty}a_i^2 < \infty$$) wraz z metryką: $$d_h(a,b) = \sqrt{\sum_{i=1}^{\infty}(a_i-b_i)^2}$$
 * nie zupełnych
 * odcinek otwarty
 * zbiór liczb wymiernych (ciąg $$x_{n+1} = \frac {x_n}{2} + \frac{1}{x_n}$$)