Teoria mocy i liczby kardynalne

  równoliczność zbiory nazywamy równolicznymi, gdy istnieje bijekcja (czyli funkcja różnowartościowa i ,,na”) pomiędzy tymi zbiorami.   aksjomat nieskończoności $$\exists x\; (\emptyset \in x \land (\forall y\; y\in x \Longrightarrow y \cup \{y\}\in x ))$$ Każdy zbiór spełniający ten warunek nazywamy zbiorem induktywnym   zbiór liczb naturalnych to najmniejszy zbiór induktywny. Konstrukcja von Neumanna kolejnych liczb naturalnych: $$0=\emptyset$$ $$ 1=\{\emptyset\}=\{0\}$$ $$ 2=\{\emptyset,\{\emptyset\}\} = \{ 0,1 \}$$ $$ 3=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\} = \{0,1,2\}$$   zbiór przeliczalny - zbiór skończony (czyli równoliczny z pewną liczbą naturalną) lub przeliczalny (czyli równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych)   moc zbioru, liczby kardynalne   liczba kardynalna - pewien zbiór wzorcowy, z którym dany zbiór jest równoliczny   mówimy, że $$|A| \leq |B|$$ jeśli istnieje injekcja z $$A$$ w $$B$$. Jeśli dodatkowo zbiory te nie są równoliczne, to mówimy, że $$|A| < |B|$$.   niech $$\mathfrak{m}, \mathfrak{n}$$ będą liczbami kardynalnymi, wówczas: <ul>  $$\mathfrak{m} + \mathfrak{n}$$ jest to moc zbioru $$A \cup B$$, dla dowolnych $$A,B$$, t. że $$|A|=\mathfrak{m}, \; |B|=\mathfrak{n}, \; A \cap B = \emptyset$$, </li>  $$\mathfrak{m} \cdot \mathfrak{n}$$ to moc zbioru $$A \times B$$, gdzie $$|A|=\mathfrak{m}, \; |B|=\mathfrak{n}$$ </li>  $$\mathfrak{m}^\mathfrak{n}$$ to moc zbioru $$A^B$$, gdzie $$|A|=\mathfrak{m}, \; |B|=\mathfrak{n}$$ </li></ul></li></ul></li>  twierdzenie Cantora-Bernsteina $$|A| \leq |B| \text{ oraz } |B| \leq   |A| \text{ to } |B|=|A|$$ </li>  nierówność $$2^\mathfrak{m} > \mathfrak{m}$$ (twierdzenie Cantora) - stosujemy metodę przekątniową: Przypuśćmy nie wprost, że istnieje surjekcja $$\mathrm F: A \rightarrow \mathrm{P}(A)$$. Zdefiniujmy $$B = \{ x \in A | x \notin \mathrm F(x) \}$$. Ponieważ $$\mathrm F$$ jest ,,na”, to $$\exists_{b \in A} \mathrm F(b)=B$$, co jest niemożliwe. </li> </ul>

Przykłady

 * zbiory o określonych mocach:
 * działania na liczbach kardynalnych: