Granica i ciągłość

  Ciąg i szereg liczbowy granica ciągu i szeregu   ciąg: funkcja $$a: I -> X$$, gdzie $$X$$ jest pewnym zbiorem, a $$I$$ podzbiorem zbioru liczb naturalnych   Dla ciągu liczb rzeczywistych $$(a_n)$$ definiuje się $$N$$-tą sumę częściową ciągu $$(a_n)$$: $$s_N = \sum_{n=0}^N a_n =a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_N.$$ Szeregiem nazywa się ciąg $$(s_N)$$ sum częściowych.   Liczbę $$g$$ nazywa się granicą ciągu $$(a_n)$$, jeżeli : $$\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_N\; \forall_{n > N}\; |a_n - g| < \varepsilon,$$   Sumą szeregu nazywa się liczbę $$S = \lim_{N \rightarrow \infty }s_N$$, o ile granica ta istnieje i jest właściwa    Twierdzenia o zbieżności ciągów   zbieżność monotoniczna Jeśli $$\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}$$ jest ciągiem rosnącym i ograniczonym z góry, to jest on zbieżny </li>  O granicy iloczynu ciągów ograniczonego i zbieżnego do zera Jeśli $$\displaystyle\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R}$$ są ciągami takimi, że $$\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0$$ oraz $$\displaystyle\{b_n\}$$ jest ograniczony, to $$\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_nb_n=0. $$ </li>  O trzech ciągach Jeśli $$\displaystyle\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}\subseteq\mathbb{R}$$ są ciągami takimi, że $$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} c_n=g\in\overline{\mathbb{R}} \quad\textrm{oraz}\quad \exists N\in \mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ a_n\le b_n\le c_n$$ to $$\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=g$$ </li>  Bolzano-Weierstrassa Każdy ciąg ograniczony $$\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}$$ zawiera podciąg zbieżny. </li>  Jeśli $$\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=a<1$$, to $$\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0$$ </li></ul> </li>  Twierdzenia o zbieżności szeregów   Warunek konieczny zbieżności szeregów Jeśli szereg $$\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$$ jest zbieżny, to $$\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0$$. </li>  Warunek Cauchy’ego zbieżności szeregów Jeśli $$\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$$ jest szeregiem, to szereg $$\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $$\forall \varepsilon>0\ \ \exists N\in\mathbb{N}\ \ \forall m>n\ge N:\ \ \ \big|a_{n+1}+\ldots + a_m\big|<\varepsilon.$$ </li>  O grupowaniu wyrazów szeregu Jeśli $$\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$$ jest szeregiem zbieżnym, $$\displaystyle\{l_n\}\subseteq \mathbb{N}$$ jest ciągiem silnie rosnącym takim, że $$l_1=1$$, to szereg $$\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\big(a_{l_n}+a_{l_n+1}+\ldots+a_{l_{n+1}-1}\big)$$ jest zbieżny oraz$$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\big(a_{l_n}+a_{l_n+1}+\ldots+a_{l_{n+1}-1}\big) \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$$ </li>  Twierdzenie Riemanna Jeśli szereg $$\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$$ jest warunkowo zbieżny (czyli jest zbieżny, ale nie bezwzględnie), to: $$\forall_{M \in R} \exists_{\sigma} \sum_{n=1}^\infty a_{\sigma (n)} = M$$ </li></ul> </li>  Kryteria zbieżności szeregów   Kryterium d’Alemberta

Jeśli $$\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$$ jest szeregiem o wyrazach dodatnich (to znaczy $$a_n>0$$ dla $$n\in\mathbb{N}$$), to $$\bigg[\exists_{p<1} \exists_{N\in\mathbb{N}} \forall_{n\ge N} \; \frac{a_{n+1}}{a_n}\le p\bigg] \Longrightarrow \bigg[\text{szereg} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ jest zbieżny} \bigg]$$ $$\bigg[\exists_{N\in\mathbb{N}} \forall_{n\ge N} \; \frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1\bigg] \Longrightarrow \bigg[\text{szereg} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ jest rozbieżny} \bigg]$$ </li>  Kryterium Cauchy’ego Jeśli $$\displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$$ jest szeregiem o wyrazach nieujemnych (to znaczy $$a_n\ge 0$$ dla $$n\in\mathbb{N}$$), to $$\bigg[\exists_{p<1} \exists_{N\in\mathbb{N}} \forall_{n\ge N} \; \sqrt[n]{a_n}\le p\bigg] \Longrightarrow \bigg[\text{szereg} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ jest zbieżny} \bigg]$$ $$\bigg[\sqrt[n]{a_n}\ge 1 \text{ dla nieskończenie wielu } n\in\mathbb{N}\bigg] \Longrightarrow \bigg[\text{szereg} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ jest rozbieżny} \bigg]$$ </li>  Kryterium Raabego ?? </li>  Kryterium całkowe ?? </li> <li> Kryterium Leibniza ?? </li> <li> Kryterium Abela Jeżeli szereg $$\sum_{n=1}^\infty a_n$$ jest zbieżny, a ciąg $$(b_n)$$ jest monotoniczny i ograniczony, to szereg $$\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$$ jest zbieżny. </li> <li> Kryterium Dirichleta Jeżeli ciąg sum częściowych $$\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)_{n=1}^\infty$$ szeregu $$\sum_{n=1}^\infty a_n$$ jest ograniczony, a ciąg $$(b_n)$$ jest monotoniczny i zbieżny do $$0$$, to szereg $$\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$$ jest zbieżny. </li></ul> </li> <li> Szereg potęgowy to szereg funkcyjny postaci $$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-a \right)^n$$ gdzie stała $$a$$ zwana środkiem szeregu i współczynniki $$a_n$$ są liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi. Szereg potęgowy jest bezwzględnie zbieżny dla wszystkich liczb należących do pewnego koła otwartego $$\{x:|x-a|<r\}$$ o środku w punkcie $$a$$ i rozbieżny poza jego domknięciem. Koło to nazywamy kołem zbieżności szeregu, a jego promień zbieżności $$r$$ określony jest wzorem: $$r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$$ </li> <li> granica funkcji w punkcie <ul> <li> Mówimy, że punkt $$x_0$$ jest punktem skupienia zbioru $$A\subseteq \mathbb{R}^N$$, jeśli każda kula o środku w punkcie $$x_0$$ (i dodatnim promieniu) zawiera przynajmniej jeden punkt zbioru A różny od $$x_0$$. </li> <li> Definicja Cauchy’ego $$\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (x_0 - \delta < x < x_0 \implies |f(x) - g| < \varepsilon)$$ </li> <li> Definicja Heinego $$\forall \{x_n\}\subseteq A\setminus\{x_0\}:\ \ \bigg[\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=x_0 \ \Longrightarrow\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} f(x_n)=g\bigg]$$ </li></ul> </li> <li> ciągłość funkcji jednej i wielu zmiennych <ul> <li> Definicja Cauchy’ego $$\forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A:\ \ \bigg[|x-x_0|<\delta \ \Longrightarrow\ |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\bigg]$$ </li> <li> Definicja Heinego $$\forall \{x_n\}\subseteq A:\ \ \bigg[\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=x_0 \ \Longrightarrow\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} f(x_n)=f(x_0)\bigg]$$ </li> <li> Definicja topologiczna $$f \colon X \to Y$$ jest ciągła, jeśli przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego w $$Y$$ jest zbiorem otwartym w $$X$$, co zapisuje się następująco: $$\forall_{U \in \tau_Y}\; f^{-1}(U) \in \tau_X$$ </li></ul> </li> <li> Własności funkcji ciągłych <ul> <li> zwartość (Weierstrass) Jeśli A jest zbiorem zwartym w $$\displaystyle\mathbb{R}$$ oraz $$\displaystyle f\colon A\longrightarrow \mathbb{R}$$ jest funkcją ciągłą, to $$f(A)$$ jest zbiorem zwartym w $$\displaystyle\mathbb{R}$$. </li> <li> Kresy funkcji na zbiorze zwartym (Weierstrass) Jeśli $$A\subseteq\mathbb{R}$$ jest zbiorem zwartym oraz $$\displaystyle f\colon A\longrightarrow\mathbb{R}$$ jest funkcją ciągłą, to funkcja $$f$$ osiąga swoje kresy, to znaczy $$\exists x_1,x_2\in A\ \forall x\in A:\ f(x_1)\le f(x)\le f(x_2)$$ </li> <li> Obraz zbioru spójnego jest zbiorem spójnym </li> <li> Własność Darboux Jeśli $$a<b,\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow\mathbb{R}$$ jest funkcją ciągłą,$$f(a)\cdot f(b)<0$$, to $$\exists c\in(a,b):\ \ f(c)=0.$$ </li></ul> </li></ul>