Rozwiązywanie układów równań liniowych

  Układem równań liniowych nazywamy układ równań w postaci $$\begin{matrix} a_{11} x_1 & + & a_{12} x_2 & + & \dots & + & a_{1n} x_n & = b_1, \\ a_{21} x_1 & + & a_{22} x_2 & + & \dots & + & a_{2n} x_n & = b_2, \\ \vdots  &   &   \vdots   &   & \ddots &   &   \vdots   & \vdots \\ a_{m1} x_1 & + & a_{m2} x_2 & + & \dots & + & a_{mn} x_n & = b_m. \end{matrix}$$ co można też zapisać w postaci macierzowej $$\mathbf Ax=b$$. Układ ten nazywamy jednorodnym, gdy $$b=0$$ lub niejednorodnym, gdy $$b \neq 0$$.   Twierdzenie Kroneckera-Capelliego Układ równań liniowych posiada rozwiązanie wtw gdy $$rz(\mathbf A)=rz(\mathbf U)$$, gdzie $$\mathbf U=[\mathbf A|b]$$ jest macierzą uzupełnioną. Jeśli $$rz(A)=n$$ jest równy ilości zmiennych, to układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie, w p.p. układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.   Wzory Crammera $$x_j = \frac{\det \mathbf A^{(j)}_\mathbf B}{\det \mathbf A},$$ gdzie $$ \mathbf A^{(j)}_\mathbf B$$ oznacza macierz powstałą z $$ \mathbf A$$ poprzez zamianę elementów $$ j$$-tej kolumny elementami wektora wyrazów wolnych $$ \mathbf B,$$ o ile tylko $$ \det \mathbf A$$ nie jest równy zeru.   Operacje elementarne   dodanie do dowolnego wiersza innego wiersza pomnożonego przez liczbę   zamiana miejscami dwóch wierszy   pomnożenie dowolnego wiersza przez liczbę różną od zera  </li>  Metoda eliminacji Gaussa polega na sprowadzeniu macierzy do postaci schodkowej przy pomocy operacji elementarnych. Na tej podstawie można rozstrzygnąć istnienie rozwiązań przy pomocy tw. Kroneckera-Capelliego oraz po kolei wyznaczyć wszystkie wartości. W każdym kolejnym kroku algorytmu zajmujemy się kolejnym wierszem. Dzielimy go przez wartość pierwszego niezerowego elementu w tym wierszu, a następnie odejmujemy ten wiersz od wszystkich kolejnych wierszy (przemnożony przez odpowiednią wartość), tak aby kolejne wiersze miały w danej kolumnie $$0$$. Aby zmniejszyć błędy numeryczne przed rozpoczęciem każdego kroku należy wybrać element główny, czyli taki, który jest największy co do modułu w danej kolumnie i zamienić go z aktualnym wierszem. </li>  Przykłady problemów </li></ul>