Relacje porządku

Jeśli w zbiorze częściowo uporządkowanym każdy łańcuch ma ograniczenie górne, to istnieje w nim element maksymalny.
 * Aksjomat wyboru
 * Częściowy porządek $$\left(\mathrm X,\leq\right)$$ - relacja zwrotna, przechodnia i antysymetryczna
 * Elementy wyróżnione:
 * maksymalny element $$a$$ t. że $$\forall_{x \in \mathrm X} a \leq x \Rightarrow a = x$$
 * minimalny element $$a$$ t. że $$\forall_{x \in \mathrm X} x \leq a \Rightarrow a = x$$
 * największy element $$a$$ t. że $$\forall_{x \in \mathrm X} x \leq a$$
 * najmniejszy element $$a$$ t. że $$\forall_{x \in \mathrm X} a \leq x$$
 * Specjalne typy porządków:
 * Porządek liniowy - porządek częściowy spełniający warunek: $$\forall_{a,b \in \mathrm X} \left(a \leq b \; \vee \; b \leq a \right)$$
 * Dobry porządek - porządek liniowy, którego każdy niepusty podzbiór posiada element najmniejszy: $$\forall_{A \subseteq X} \exists_{a \in A} \forall_{x \in A} \; a \leq A$$
 * Porządek gęsty - porządek częściowy spełniający warunek: $$(\forall a,b\in A)(a<b\ \Rightarrow\ (\exists c\in A)(a<c<b))$$
 * Krata zupełna - porządek częściowy, w którym każdy podzbiór ma kres górny (krata - tylko dwuelementowe podzbiory muszą mieć kresy)
 * ograniczeniem górnym zbioru $$A \subseteq X$$ nazywamy taki element $$b \in X$$, że $$\forall_{a \in A} \; a \leq b$$. Oznaczamy to przez $$b \geq A$$.
 * kresem zbioru $$A \subseteq X$$ nazywamy najmniejsze jego ograniczenie górne, czyli:
 * $$b \geq A$$,
 * $$\forall_{c \in X} \left( c \geq A \Rightarrow c \geq b \right)$$
 * Lemat Kuratowskiego-Zorna
 * łańcuchem w porządku częściowym $$\left(\mathrm X,\leq\right)$$ nazywamy taki jego podzbiór $$A$$, który jest porządkiem liniowym
 * Lemat Kuratowskiego-Zorna: