Najbardziej znane rozkłady prawdopodobieństwa

  Definicje   Miarę $$\mu$$ przestrzeni mierzalnej z miarą $$(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$$ nazywamy miarą probabilistyczna jeśli spełnia warunek $$\mu (\Omega )=1\,$$   Rozkładem prawdopodobieństwa nazywamy miarę probabilistyczną $$P$$ określoną na ,,$$\sigma$$-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni polskiej”, w praktyce na $$\mathbb R^n$$.   Dystrybuantą rozkładu $${\mathbb P}$$ nazywamy funkcję $$F\colon {\mathbb  R}\to {\mathbb  R}$$ daną wzorem: $$F(t)={\mathbb  {P}}((-\infty ,t])$$   Wartość oczekiwaną zmiennej losowej $$X$$ definiuje się jako całkę $$\mathbb EX = \int\limits_\Omega X d\mathbb P$$ W przypadku dyskretnym wzór ten przyjmuje postać: $$\mathbb EX = \sum_{i=1}^n x_i p_i.$$   Wariancja zmiennej losowej $$X$$ zdefiniowana jest wzorem: $$\operatorname {Var}[X]= \mathbb E[(X- \mathbb E X )^{2}],$$ Wzorem przydatnym przy obliczaniu wariancji jest: $$\operatorname {Var}[X]= \mathbb E(X^{2})-[\mathbb E(X)]^{2}\;.$$   Kowariancję definiuje się wzorem: $$\operatorname {cov}(X,Y)={\mathbb  {E}}[(X-{\mathbb  {E}}X)\cdot (Y-{\mathbb  {E}}Y)]\ .$$ Wygodniejszym, równoważnym wzorem jest: $$\operatorname {cov}(X,Y)={\mathbb  {E}}(X\cdot Y)-{\mathbb  {E}}X\cdot {\mathbb  {E}}Y\$$ </li>  Własności wartości oczekiwanej i wariancji: Dowolne zmienne losowe   $${\Bbb E} (\alpha X) = \alpha {\Bbb E} (X) \text{ dla każdej liczby } \alpha\in {\Bbb R}$$ </li>  $${\Bbb E} (X + Y) = {\Bbb E} (X) + {\Bbb E} (Y),$$ </li>  $${\Bbb E} (X \cdot Y)^2 \le {\Bbb E}(X^2) \cdot  {\Bbb E}(Y^2)$$ </li>  $${\Bbb D}^2 (X) = {\Bbb E} (X^2) - {\Bbb E} (X)^2$$ </li>  $${\Bbb D}^2 (\alpha X) = \alpha^2 {\Bbb D}^2 (X) \text{ dla każdej liczby } \alpha\in {\Bbb R}$$ </li>  $$X = const = c\Longleftrightarrow{\Bbb D}^2 (X) = 0$$ </li></ul> Zmienne niezależne   $$\Bbb E(|X|) < \infty \wedge E(|Y|) < \infty \implies {\Bbb E} (X \cdot Y) = {\Bbb E} (X) \cdot {\Bbb E} (Y).$$ </li>  $$ {\Bbb D}^2 (X) <\infty \wedge {\Bbb D}^2 (Y) < \infty \implies {\Bbb D}^2 (X + Y) = {\Bbb D}^2 (X) + {\Bbb D}^2 (Y).$$ </li></ul></li>  Rozkłady dyskretne   Bernoulli’ego $$B(n,p)$$ - rozkład wyniku $$n$$ rzutów monetą, w których prawdopodobieństwo sukcesu wynosi $$p$$ $$ P(X = k) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}, \qquad $$$$ P(X \le k) = \sum_{i=0}^{\lfloor k \rfloor} {n\choose i}p^i(1-p)^{n-i}, \qquad $$$$ \Bbb E[X] = np, \qquad $$$$ {\Bbb Var}[X] = np(1 - p,)\qquad$$   przykład1 </li></ul></li> <li> Poissona $$Pois(\lambda)$$ - rozkład wyrażający prawdopodobieństwo szeregu wydarzeń mających miejsce w określonym czasie, gdy te wydarzenia występują ze znaną średnią częstotliwością i w sposób niezależny od czasu jaki upłynął od ostatniego zajścia takiego zdarzenia $$\begin{gathered} P(X=k)= \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \qquad P(X \le k) = e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{\lfloor k\rfloor} \frac{\lambda^i}{i!} \qquad \begin{split} \operatorname{E}[X] &= \lambda \\ \operatorname{Var}[X] &= \lambda \end{split}\end{gathered}$$ <ul> <li> przykład1 </li></ul></li> <li> hipergeometryczny - określa liczbę ,,sukcesów” przy losowaniu bez zwracania $$n$$ elementów z $$N$$ elementowej urny, w której jest $$K$$ elementów typu ,,sukces”. $$\begin{gathered} P(X=k) = \frac{{K \choose k} {N-K \choose n-k}} \qquad P(X \le k) = ? \qquad \begin{split} \operatorname{E}[X] &= n {K\over N} \\ \operatorname{Var}[X] &= ? \end{split}\end{gathered}$$ <ul> <li> przykład1 </li></ul></li></ul></li> <li> Rozkłady ciągłe <ul> <li> normalny zwany też rozkładem Gaussa – jeden z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa. Odgrywa ważną rolę w statystycznym opisie zagadnień przyrodniczych, przemysłowych, medycznych, społecznych itp. Wykres funkcji prawdopodobieństwa tego rozkładu jest krzywą dzwonową. $$\begin{gathered} \phi(x) = \frac{e^{- \frac{\scriptscriptstyle 1}{\scriptscriptstyle 2} x^2}}{\sqrt{2\pi}}\, \qquad \operatorname P(X\leq x)=\int \limits _^{x}{\frac {1}{\sigma {\sqrt  {2\pi }}}}e^\,du \qquad \begin{split} \operatorname{E}[X] &= \mu \\ \operatorname{Var}[X] &= \sigma ^{2} \end{split}\end{gathered}$$ <ul> <li> przykład1 </li></ul></li> <li> wykładniczy - rozkład opisujący proces Poissona, to znaczy taki, w którym wydarzenia następują ciągle i niezależnie od siebie ze stałym średnim tempem. $$\begin{gathered} \phi(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x \ge 0, \\ 0 & x < 0. \end{cases} \qquad F(t) = \begin{cases} 1-e^{-\lambda t} & t \ge 0, \\ 0 & t < 0. \end{cases} \qquad \begin{split} \operatorname{E}[X] &= \lambda^{-1} \\ \operatorname{Var}[X] &= \lambda^{-2} \end{split}\end{gathered}$$ <ul> <li> przykład1 </li></ul></li> <li> Cauchy’ego - standardowy to rozkład ilorazu niezależnych zmiennych normalnych $$\begin{gathered} \phi(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}. \! \qquad F(x)=\frac{1}{\pi} \arctan\left(x\right)+\frac{1}{2} \qquad \begin{split} \operatorname{E}[X] &= \mu \\ \operatorname{Var}[X] &= \sigma ^{2} \end{split}\end{gathered}$$ <ul> <li> przykład1 </li></ul></li> <li> $$\mathbf{\chi}$$-kwadrat - suma kwadratów zmiennych o rozkładzie normalnym, czyli dla $$X_{i}\sim N(0,1)$$: $$Y=\sum _^{k}(X_{i})^{2} \Longleftrightarrow Y\sim \chi _{k}^{2},$$ $$\begin{gathered} \phi(x) = ? \qquad F(x;\,2) = 1 - e^{-\frac{x}{2}} \qquad \begin{split} \operatorname{E}[X] &= k \\ \operatorname{Var}[X] &= 2k \end{split}\end{gathered}$$ <ul> <li> przykład1 </li></ul></li></ul></li> </ul>