O pojęciu odległości

  Niech $$X$$ oznacza dowolny niepusty zbiór. Metryką (w zbiorze $$X$$) nazywa się funkcję $$d\colon X\times X\to [0,+\infty ),$$ która dla dowolnych elementów $$a,b,c$$ tego zbioru spełnia następujące warunki:   $$d(a,b)=0\iff a=b;$$,   $$d(a,b)=d(b,a);\,$$   $$d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b).$$ 

Gdy $$d$$ jest metryką w zbiorze $$X$$, to para $$(X, d)$$ nazywana jest przestrzenią metryczną.   Przykłady metryk:   metryka kolejowa, miejska, rzeka, euklidesowa, maksimum, dyskretna   W przestrzeni unormowanej $$X$$ wzór $$d(x,y)=\|x-y\|$$ dla $$x,y\in X$$ indukuje metrykę na przestrzeni $$X$$. </li> </li></ul> </li>  Niech $$(X,d_X)$$ oraz $$(Y,d_Y)$$ będą przestrzeniami metrycznymi. Funkcję $$f : X \to Y$$ nazywamy izometrią, jeśli zachowuje odległości, czyli: $$\forall_{a,b \in X} \; d_{Y}\left(f(a),f(b)\right)=d_{X}(a,b).$$ </li>  Opis analityczny izometrii w przestrzeni kartezjańskiej $$^n$$. (??)   przesunięcie </li>  obrót $$R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix}$$ </li></ul> </li>  Przykłady metryk w przestrzeniach funkcyjnych:   przestrzenie $$L_p$$ $$\|f\|_p \equiv \left({\int_S |f|^p\;\mathrm{d}\mu}\right)^{\frac{1}{p}}<\infty$$ </li>  Przestrzeń $$L_\infty$$ Symbolem $$L_\infty(\mu)$$ oznacza się przestrzeń funkcji prawie wszędzie ograniczonych, tj. takich zespolonych funkcji mierzalnych, że $$_|f(x)|:=\inf\{\sup\{|f(x)|\colon \,x\in \Omega \setminus A\}\colon \,A\in {\mathcal {A}},\mu (A)=0\}<\infty ,$$ z normą $$\|f\|=_|f(x)|.$$ </li>  Niech $$X,Y$$ będą przestrzeniami metrycznymi, a $${\mathcal C}(X,Y)$$ oznacza zbiór wszystkich funkcji ciągłych z przestrzeni $$X$$ w przestrzeń $$Y$$. Dla $$f,g\in (X,Y)$$ określamy $$d(f,g)=\sup _{\Bigg (}\min {\Big (}1,\varrho _{Y}{\big (}g(x),f(x){\big )}{\Big )}{\Bigg )}$$ Wówczas $$d$$ jest metryką na zbiorze $${\mathcal C}(X,Y)$$ nazywaną metryką zbieżności jednostajnej. </li></ul> </li>  różne rodzaje zbieżności ciągów i szeregów funkcyjnych, związki między nimi.   zbieżność punktowa $$\displaystyle \forall x\in X\ \ \forall \varepsilon>0\ \ \exists N\in\mathbb{N}\ \ \forall n\ge N:\ \ \varrho\big(f_n(x),f(x)\big) \ <\ \varepsilon.$$ </li>  zbieżność jednostajna $$\displaystyle f_n\rightrightarrows f$$, $$\displaystyle \forall \varepsilon>0\ \ \exists N\in \mathbb{N}\ \ \forall n\ge N\ \ \forall x\in X:\ \ \varrho\big(f_n(x),f(x)\big) \ <\ \varepsilon.$$ Granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych jest ciągła. </li>  zbieżność niemal jednostajna zachodzi wówczas, gdy ciąg lub szereg funkcyjny jest zbieżny punktowo do zadanej funkcji $$f$$ i zbieżny do niej jednostajnie na każdym podzbiorze zwartym dziedziny. </li> <li> zbieżność szeregów <ul> <li> suma częściowa $$F_n=\displaystyle \sum_{i=0}^n f_i$$ </li> <li> szereg funkcyjny to ciąg funkcyjny sum częściowych </li> <li> Mówimy, że szereg jest zbieżny punktowo na $$\displaystyle A$$ do sumy $$\displaystyle f$$ jeśli $$ \displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow\mathbb{R}$$ </li> <li> Mówimy, że szereg $$\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n$$ jest zbieżny jednostajnie na $$\displaystyle A$$ do sumy $$\displaystyle f$$, jeśli $$\displaystyle F_n\rightrightarrows f$$. </li></ul> </li> <li> Kryterium Weierstrassa $$\forall_n \exists_{M_n} \forall_x |f_n(x)| \leq M_n \wedge \sum_{n=1}^{\infty} M_n \text{ - zbieżny} \implies \sum _^{\infty }f_{n}(x) \text{ - zbieżny jednostajnie}$$ </li></ul> </li></ul>