Relacje równoważności i zasada abstrakcji

= Relacje równoważności i zasada abstrakcji =


 * Niech $$X$$ będzie dowolnym zbiorem. Relację $$R \subseteq X \times X$$ nazywamy relacją równoważności wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona:
 * zwrotna, tzn. dla wszystkich $$x\in X$$ zachodzi $$x\ R\ x$$
 * symetryczna, tzn. dla dowolnych $$x, y\in X$$ $$x\ R\ y \Rightarrow y\ R\ x$$
 * przechodnia, tzn. dla wszystkich $$x, y, z\in X$$ zachodzi wynikanie $$x\ R\ y \text{ oraz } y\ R\ z \Rightarrow x\ R\ z$$.
 * Klasą abstrakcji elementu $$x$$ nazywa się zbiór $$[x]_\sim = \{y \in X\colon y \sim x\}$$ Każdy element $$x \in X$$ należy do dokładnie jednej klasy abstrakcji równej $$[x]$$. Innymi słowy: $$a \sim b \Leftrightarrow [a]=[b]$$
 * Zbiór wszystkich klas abstrakcji oznaczany $$X/_\sim\;$$, nazywa się przestrzenią ilorazową lub krótko ilorazem (zbioru) $$X$$ przez (relację) $$\sim\;$$
 * Przekształcenie $$X \to X/_\sim\;$$ dane wzorem $$x \mapsto [x]\;$$ (każdemu elementowi przypisana jest jego klasa abstrakcji) nazywa się odwzorowaniem ilorazowym lub rzutowaniem
 * Zasada abstrakcji mówi, że dowolnemu podziałowi zbioru na rozłączne podzbiory odpowiada pewna relacja równoważności, a każda relacja równoważności ustanawia pewien podział zbioru.

Przykłady
  liczby całkowite - zbiór klas abstrakcji relacji równoważności: $$R \subset \mathbb{N} \times \mathbb{N}$$ t. że: $$(a,\; b) \sim (c,\; d) \iff a+d = b+c$$ Intuicyjnie $$(a,\; b)$$ reprezentuje różnicę $$a-b$$. Wówczas dodawanie i mnożenie definiuje się jako: $$ [(a,\; b)] + [(c,\; d)] = [(a+c,\; b+d)]$$ $$ [(a,\; b)] \cdot [(c,\; d)] = [(ac+bd,\; ad+bc)]$$   liczby wymierne - zbiór klas abstrakcji relacji równoważności $$R \subset \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$$ t. że: $$(a,\; b) \sim (c,\; d) \iff ad = bc$$ Intuicyjnie $$(a,\; b)$$ reprezentuje iloraz $$\frac{a}{b}$$. Wówczas dodawanie i mnożenie definiuje się jako: $$ [(a,\; b)] + [(c,\; d)] = [(ad+bc,\; bd)],$$ $$ [(a,\; b)] \cdot [(c,\; d)] = [(ac,\; bd)]$$   grupa ilorazowa   topologia ilorazowa  