Twierdzenia o punkcie stałym i ich zastosowania

Nie istnieje retrakcja kuli domkniętej do jej brzegu. Jest to równoważne z twierdzeniem Brouwera Twierdzenie Brouwera dla $$n=1$$ można udowodnić z własności Darboux rozważając $$g(x) = f(x) - x$$
 * Definicje
 * Niech $$X$$ będzie zbiorem oraz $$f\colon X\to X$$ funkcją zbioru $$X$$ w siebie. Punkt $$x\in X$$ nazywamy punktem stałym funkcji $$f$$, jeśli $$f(x)=x$$.
 * Odwzorowanie zwężające to przekształcenie $$f$$ z przestrzeni metrycznej $$(X,\varrho _{X})$$ w przestrzeń metryczną $$(Y,\varrho _{Y})$$, dla którego istnieje stała rzeczywista $$\alpha \in (0,1)$$ taka, że dla dowolnych $$x_{1},x_{2}\in X$$ zachodzi nierówność $${\varrho _{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))}\leq \alpha {\varrho _{X}(x_{1},x_{2})}.$$
 * Niech $$X$$ będzie przestrzenią topologiczną oraz $$A\subseteq X$$. Funkcja ciągła $$f\colon X\to A$$ nazywana jest retrakcją, jeżeli $$f|_{A}=\operatorname {id}_{A},$$ tzn. zachodzi równosć $$f(a)=a\;$$ dla wszystkich elementów $$a\;$$ przestrzeni $$A\;$$.
 * Twierdzenie Banacha o odwzorowaniach zwężających Jeśli $$(X,\varrho)$$ jest przestrzenią metryczną zupełną, zaś $$f\colon X\to X$$ jest kontrakcją, to: odwzorowanie f ma dokładnie jeden punkt stały $$x_{0}$$ oraz dla dowolnego $$x\in X$$ ciąg $$(x,f(x),f(f(x)),\dots )$$ jest zbieżny do $$x_{0}$$.
 * zastosowania twierdzenia Banacha
 * rozwikływanie funkcji
 * rozwiązywanie równań różniczkowych
 * Twierdzenie Brouwera Niech $$X$$ będzie wypukłym zbiorem zwartym. Wówczas funkcja ciągła $$f: X \to X$$ posiada punkt stały.
 * nieistnienie retrakcji kuli do brzegu.
 * Związek z własnością Darboux.