Twierdzenia graniczne w rachunku prawdopodobieństwa

  Rozkład normalny. $$\phi _(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,\exp \left({\frac  {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$$   Jeśli $$X\sim \mathcal N(\mu ,\sigma ^{2})$$, oraz $$a,b$$ są liczbami rzeczywistymi, to $$aX+b\sim \mathcal N(a\mu +b,(a\sigma )^{2})$$.   Jeśli $$X_{1}\sim \mathcal N(\mu _{1},\sigma _{1}^{2})$$ i $$X_{2}\sim \mathcal N(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})$$, oraz zmienne $$X_{1},X_{2}$$, są niezależne, to $$X_{1}+X_{2}\sim \mathcal N(\mu _{1}+\mu _{2},\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})$$.   Jeśli $$X_{1},\dots ,X_{n}$$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o standardowym rozkładzie normalnym, to zmienna $$X_{1}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}$$ ma rozkład chi-kwadrat z $$n$$ stopniami swobody.   Jeśli $$X\sim \mathcal N(\mu ,\sigma ^{2})$$, to $$Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}$$ jest zmienną losową o standardowym rozkładzie normalnym $$\mathcal N (0,1)$$    Twierdzenie graniczne Poissona Niech $$B_{n}$$ będzie ciągiem zmiennych losowych o rozkładach dwumianowych $$B(n,p_{n})$$. Wówczas jeżeli $$\lim \limits _np_{n}=\lambda$$, to zachodzi $$\lim \limits _{\mathbb P}(B_{n}=k)=e^{\frac  {\lambda ^{k}}{k!}},$$ lub równoważnie $$B_{n}{\stackrel  {D}{\longrightarrow }}X,X\sim Poiss(\lambda )$$   Twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a. Niech $$S_n$$ oznacza liczbę sukcesów w $$n$$ próbach Bernoulliego z prawdopodobieństwem $$p$$. Wtedy: $$\forall_{x \in \mathbb R}P \left( \frac{S_n - \mathbb E S_n}{\sqrt{\mathbb D^2 S_n}} < x \right) \xrightarrow{n \to \infty} \Phi (x)$$ gdzie $$\Phi(x)$$ jest dystrybuantą rozkładu normalnego. Błąd w twierdzeniu Poissona można oszacować poprzez: $$\sup_{x \in \mathbb{R}} \left|P \left( \frac{S_n - \mathbb E S_n}{\sqrt{\mathbb D^2 S_n}} < x \right) - \Phi (x)\right| \leq C \frac{p^2 + (1-p)^2}{\sqrt{\mathbb D^2 S_n}}$$ Zatem dla dużych $$n$$ liczba sukcesów ma asymptotycznie rozkład $$\mathcal N \left(np, \sqrt{np(1-p)}\right)$$. </li>  Przykład zastosowania: Prawdopodobieństwo urodzenia chłopca wynosi $$ 0,517 $$. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wśród $$ n=10000 $$ noworodków liczba chłopców nie przewyższy liczby dziewcząt? Trzeba skorzystać z tablic rozkładu normalnego </li>  Centralne Twierdzenie Graniczne: Jeśli $$X_{i}$$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie, takiej samej wartości oczekiwanej $$\mu$$ i skończonej wariancji $$\sigma ^{2}$$, to zmienna losowa o postaci $${\frac {\sum _^{n}X_{i}-n\mu }{\sigma {\sqrt  {n}}}}$$ zbiega według rozkładu do standardowego rozkładu normalnego gdy $$n$$ rośnie do nieskończoności </li>  Ew.: twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy’ego: Niech $$(X_)$$ będzie schematem serii, w którym $$EX_=0$$ dla $$k\leq n$$ i dla każdego $$n$$ mamy $$\sum _^{n}D^{2}X_=1$$. Jeśli spełniony jest warunek Lindeberga, tj. dla każdego $$\epsilon >0$$ zachodzi: $$\lim _\sum _^{n}EX_^{2}{\mathbf 1}_=0$$ wtedy $$\sum _^{n}X_{\xrightarrow  {D}} \mathcal N(0,1).$$ </li></ul>