Prawa wielkich liczb

  rodzaje zbieżności:   Ciąg zmiennych losowych $$(X_{n})_$$ jest zbieżny według prawdopodobieństwa do zmiennej $$X$$, jeżeli $$\bigwedge \limits _\ \lim \limits _P\left(\{\omega \in \Omega :|X_(\omega )-X(\omega )|<\varepsilon \}\right)=1.$$   Mówimy, że ciąg zmiennych losowych $$(X_{n})_$$ jest zbieżny prawie na pewno do zmiennej $$X$$, jeżeli $$P\left(\{\omega \in \Omega :\lim \limits _X_(\omega )=X(\omega )\}\right)=1.$$   Ciąg zmiennych losowych $$(X_{n})_$$ jest zbieżny według rozkładu do zmiennej $$X$$ jeśli $$\lim_{n\to\infty} F_n(x) = F(x),$$ dla każdej liczby rzeczywistej $$x$$ w której $$F(x)$$ jest ciągła. Przy czym $$F_n(x)$$ jest dystrybuantą $$X_n$$, a $$F(x)$$ jest dystrybuantą $$X$$.    Mocne Prawo Wielkich Liczb Kołmogorowa Załóżmy, że $$ X_1 $$, $$ X_2 $$, $$ \ldots $$ jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie.   Jeśli $$ X_n\in L^1 $$ i $$ m=\ E X_1 $$, to $$\frac{X_1+X_2+\ldots+X_n}{n} \to m \quad \mbox{p.n.}$$   Jeśli $$ X_n\notin L^1 $$, to $$\mathbb P\left(\limsup_{n\to \infty}\left|\frac{X_1+X_2+\ldots+X_n}{n}\right|=\infty\right)=1.$$ </li></ul> </li>  Słabe Prawo Wielkich Liczb Załóżmy, że $$ X_1 $$, $$ X_2 $$, $$ \ldots $$ są zmiennymi losowymi całkowalnymi z kwadratem. Jeśli zmienne te są nieskorelowane oraz mają wspólnie ograniczoną wariancję, to $$\frac{X_1+X_2+\ldots+X_n- (X_1+X_2+\ldots+X_n)}{n} \to 0$$ według prawdopodobieństwa. W szczególności, jeśli zmienne $$ X_i $$ posiadają tę samą wartość oczekiwaną, to $$\frac{X_1+X_2+\ldots+X_n}{n}\xrightarrow{\mathbb{P}}  \mathbb{E} X_1.$$ </li>  interpretacja wartości oczekiwanej i prawdopodobieństwa ??? </li>  przykłady zastosowań   ciąg bernouliego - ?? </li>  metoda Monte Carlo - przy jej pomocy można obliczyć chociażby wartość całki. Niech $$(X_i)_{i=1}^n$$ będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym na $$[a,b]$$. Niech $$f$$ będzie funkcją rzeczywistą, taką że $$\mathbb E f(X_1) < \infty$$. Wówczas ponieważ $$\mathbb E f(X_1) = \frac{1}{b -a} \int_{a}^{b} f(x)dx$$, to: $$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f(X_k) \xrightarrow{p.n.} \mathbb E f(X_1) = \frac{1}{b -a} \int_{a}^{b} f(x)dx$$ Zatem losując $$n$$ wartości z przedziału $$[a,b]$$ możemy przybliżyć całkę. </li></ul> </li></ul>