O pojęciu grupy. Grupy przekształceń

  Grupą nazywamy zbiór $$G$$ zdziałaniem dwuargumentowym spełniającym następujące warunki:   $$\forall_{a, b, c \in G}\; (a b) c = a (b c)$$ zapewniający łączność działania   $$\exists_{e \in G}\; \forall_{a \in G}\; e a = a e = a$$, gdzie $$e$$ nazywamy elementem neutralnym działania,   $$\forall_{a \in G}\; \exists_{b \in G}\; a b = b a = e$$, gdzie $$b$$ nazywamy elementem odwrotnym do elementu $$a$$. Element odwrotny jest oznaczany przez $$a^{-1}$$. 

Jeżeli działanie w grupie $$G$$ spełnia warunek: $$\forall_{a,\; b \in G}\; a b = b a$$, to grupę $$G$$ nazywamy grupą przemienną bądź abelową.   Przekształcenie $$\varphi\colon G \to H$$ nazywamy jest homomorfizmem grup wtedy i tylko wtedy, gdy: $$\forall_{x,y \in G} \varphi(x \cdot y) = \varphi(x) \cdot \varphi(y)$$   monomorfizm różnowartościowy homomorfizm,   epimorfizm homomorfizm ,,na”, </li>  izomorfizm homomorfizm różnowartościowy i ,,na” </li>  automorfizm izomorfizm grupy $$G$$ w siebie, </li>  endomorfizm homomorfizm $$\varphi\colon G \to G$$ </li></ul> </li>  Podgrupą grupy $$G$$ nazywamy podzbiór $$H \subseteq G$$, taki, że: $$\forall_{x,y \in H} xy \in H$$, $$\quad \forall_{x \in H} x^{-1} \in H$$, $$\quad e \in H$$. Oznaczamy ją przez $$H \leq G$$.   jądro - $$\mathrm{ker}\varphi := \varphi^{-1}(e) = \{g \in G : \varphi(g)=e \}$$ </li>  centrum - $$Z(G) := \{ g \in G : \forall_{x \in G} gx=xg \}$$ </li></ul> </li>  Twierdzenie Lagrange’a   warstwa lewostronna $$gH = \{ gh : h \in H \}$$, gdzie $$H \leq G$$, $$g \in G$$. Warstwy grupy $$G$$ względem podgrupy $$H$$ są równoliczne z podgrupą $$H$$. </li>  zbiór wszystkich warstw względem podgrupy $$H$$ oznaczamy przez $$G/H$$. Moc zbioru warstw nazywamy indeksem podgrupy $$H$$ w grupie $$G$$ i oznaczmy przez $$[G:H]$$. </li></ul>

Jeśli grupa $$G$$ jest skończona i $$H \leq G$$, to $$|G| = |H| \cdot [G:H]$$   W grupie skończonej rząd podgrupy jest dzielnikiem rzędu grupy </li></ul> </li>  Działanie grupy na zbiorze - 2 definicje: ''Działaniem grupy $$G$$ na zbiorze $$X$$ nazywamy homomorfizm $$\psi : G \to \Sigma_X$$ (gdzie $$\Sigma_X$$ to grupa bijekcji zbioru $$X$$). Działanie nazywamy wiernym, jeśli jest ono monomorfizmem''.   orbita - $$G(x) = \{g(x) \colon\, g \in G\}$$ </li> <li> punkt stały - taki punkt $$x$$, że $$G(x) = \{x\}$$ </li> <li> grupa izotropii - $$G_x = \{g \in G\colon\, g(x) = x\}$$ </li> <li> działanie przechodnie - $$\forall_{x,y \in X} \exists_{g \in G} \; y = g(x)$$ </li></ul> </li></ul>