FANDOM


  • Funkcję $ \displaystyle F\colon D\longrightarrow\mathbb{R} $ nazywamy funkcją pierwotną funkcji $ \displaystyle f $, jeśli $ \displaystyle F $ jest różniczkowalna i $ \displaystyle F'=f $.

    • Twierdzenie Newtona-Leibniza $ \int\limits_a^b f(x)\; \operatorname dx = F(b) - F(a). $

    • $ \int f^\prime(x)g(x)dx=f(x)g(x)-\int f(x)g^\prime(x)dx. $

    • $ \int f\bigl(g(t)\bigr)g^\prime(t)\; \operatorname dt=F(g(t))+C $

  • Całka Riemanna

    • Podziałem $ P $ przedziału $ [a,b] $ nazywa się ciąg skończony $ (p_{0},\dots ,p_{n}) $ spełniający warunek: $ a=p_{0}<p_{1}<\dots <p_{{n-1}}<p_{n}=b $ Średnicą podziału $ P $ nazywa się największą długość przedziału $ {\mathbf {diam}}\;P=\max _{{i=1,\dots ,n}}|p_{i} - p_{i-1}| $ Ciąg podziałów $ (P^{k}) $ nazywa się normalnym, jeżeli: $ \lim\limits_{k \to \infty} {\mathbf {diam}}\;P^{k} = 0 $

    • Niech dana będzie funkcja ograniczona $ f\colon [a,b]\to {\mathbb R} $. Sumą częściową (Riemanna) nazywa się liczbę: $ R_{{f,P(q_{1},\dots ,q_{n})}}=\sum _{{i=1}}^{n}f(q_{i})\cdot \Delta p_{i} $

    • Funkcję $ f $ nazywa się całkowalną w sensie Riemanna lub krótko R-całkowalną, jeśli dla dowolnego ciągu normalnego $ (P^{k}) $ podziałów przedziału $ [a,b] $, istnieje granica: $ \exists_{R_{f}} \forall_{(P^{k}) - normalny} \quad R_{f}=\lim _{{k\to \infty }}R_{{f,P^{k}\left(q_{1}^{k},\dots ,q_{{n_{k}}}^{k}\right)}} $ zwana całką Riemanna.

    • całka Riemanna bez funkcji pierwotnej

  • Całka Lebesgue’a

    • przestrzeń mierzalna Jeżeli $ X $ jest ustalonym zbiorem, to rodzinę $ {\mathcal {F}} $ złożoną z jego podzbiorów nazywa się $ \sigma $-ciałem (podzbiorów zbioru $ X $), gdy $ {\mathcal {F}} $ jest przeliczalnie addytywne ciało podzbiorów zbioru $ X $, tzn.

      • zbiór pusty należy do $ {\mathcal F}\colon $
        $ \emptyset \in {\mathcal F} $

      • dopełnienie zbioru należącego do $ {\mathcal F} $należy do $ {\mathcal F}\colon $
        $ A\in {\mathcal F}\Rightarrow X\setminus A\in {\mathcal F} $

      • suma przeliczalnie wielu zbiorów należących do $ {\mathcal F} $ należy do $ {\mathcal F}\colon $
        $ A_{1},A_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}\Rightarrow \bigcup _{{i=1}}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal F} $

      $ X $ z $ \sigma $-ciałem $ {\mathcal {F}} $, tzn. parę $ (X,{\mathcal F}) $ nazywa się przestrzenią mierzalną.
      Przestrzeń (mierzalna) z miarą to trójka uporządkowana $ (X,{\mathcal F},\mu ) $, gdzie $ (X,{\mathcal F}) $ jest przestrzenią mierzalną, a $ \mu \colon {\mathcal F}\to [0,\infty ] $ miarą, czyli funkcją spełniającą:

      • $ \mu (\emptyset )=0 $,

      • $ \mu (\bigcup \limits_{{n=1}}^{{\infty }}A_{n})=\sum _{{n=1}}^{\infty }\mu (A_{n}) $

      dla każdej rodziny zbiorów parami rozłącznych $ A_{1},A_{2},A_{3},\ldots \in {\mathcal {F}}. $.

    • funkcja jest mierzalna, jeżeli przeciwobraz dowolnego zbioru mierzalnego jest mierzalny

    • całka Lebesgue’a dla funkcji charakterystycznych
      Wartością całki z funkcji charakterystycznej $ \chi_A $ zbioru mierzalnego $ A $ jest miara tego zbioru: $ \int \chi_A \;\operatorname d\mu := \mu(A) $ Wynik może być równy $ +\infty $, o ile $ \mu $ nie jest miarą skończoną.

    • całka Lebesgue’a dla funkcji prostych
      Jeżeli $ f $ jest nieujemną funkcją prostą (kombinacją liniową funkcji charakterystycznych), to całkę Lebesgue’a tej funkcji definiuje się wzorem $ \int f \;\operatorname d\mu := \int \sum_{i = 1}^n a_i \chi_{A_i} = \sum_{i=1}^n a_i \int \chi_{A_i} = \sum_{i=1}^n a_i \mu(A_i). $ Całkę Lebesgue’a z dowolnej funkcji prostej $ g $ definiuje się jako $ \int g := \int g^+ - \int g^-. $

    • całka Lebesgue’a dla funkcji mierzalnych
      Całkę Lebesgue’a nieujemnej funkcji mierzalnej $ g $ określa się jako $ \int g := \sup \Bigg\{\int f\colon f \text{ jest nieujemną funkcją prostą taką, że } f \leq g \Bigg\}. $ Definicja całki Lebesgue’a z dowolnej funkcji mierzalnej $ h $: $ \int h := \int h^+ - \int h^-, $

    • całkę Lebesque’a na zbiorze mierzalnym $ E \in \mathfrak M $ z funkcji mierzalnej $ f $ na zbiorze mierzalnym określa się jako: $ \int\limits_E f := \int f \chi_E, $ gdzie $ \chi_E $ oznacza funkcję charakterystyczną zbioru $ E $.

  • całka jako funkcjonał liniowy

    • Funkcjonał to przekształcenie z przestrzeni wektorowej w ciało skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń

    • Całka jest funkcjonałem, gdyż przyporządkowuje funkcjom (czyli elementom przestrzeni funkcji) liczby rzeczywiste.

    • Całka jest przekształceniem liniowym, gdyż jest addytywna i jednorodna.

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.