FANDOM


Definicje Edit

  • funkcję $ f: X \to Y $ nazywamy ciągłą, jeśli jest ciągła we wszystkich punktach $ x \in X $ (patrz [ciaglosc])
  • funkcję $ f: X \to Y $ nazywamy różniczkowalną, jeśli posiada pochodną we wszystkich punktach $ x \in X $ (patrz [pochodna])
  • funkcję $ f: X \to Y $ nazywamy $ n $-krotnie różniczkowalną, jeśli $ (n-1) $ pochodna posiada pochodną $ \forall x \in X $ (jest to definicja rekurencyjna)
  • funkcję $ f: X \to Y $ nazywamy gładką, jeśli jest n-krotnie różniczkowalna dla każdego $ n \in \mathbb N $
  • funkcję $ f: X \to Y $ nazywamy analityczną, jeśli jest funkcją gładką, taką że szereg Taylora zbiega punktowo do wartości funkcji w każdym punkcie dziedziny, czyli: $ \forall_{x \in X} T(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n} = f(x) $

Przykłady braku implikacji Edit

  • ciągła, ale nieróżniczkowalna
    • podstawowy: $ f(x) = |x| $
    • zaawansowany: funkcja Weierstraßa zdefiniowana jest jako $ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x), $ gdzie $ a \in (0,1) $ natomiast $ b $ jest liczbą nieparzystą, spełniającą warunek $ ab>1+\tfrac{3}{2}\pi. $
  • różniczkowalna, ale nie gładka
    • podstawowy:
    • zaawansowany:
  • gładka, ale nie analityczna
    • podstawowy: $ f(x)=\begin{cases}\exp(-1/x)&\text{if }x>0,\\ 0&\text{if }x\le0,\end{cases} $
    • zaawansowany: $ F(x):=\sum_{k\in A} e^{-\sqrt{k}}\cos(kx) $
Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.