Egzamin Magisterski MIMUW Wiki
Advertisement
  • Ciąg i szereg liczbowy granica ciągu i szeregu

    • ciąg: funkcja , gdzie jest pewnym zbiorem, a podzbiorem zbioru liczb naturalnych

    • Dla ciągu liczb rzeczywistych definiuje się -tą sumę częściową ciągu :

      Szeregiem nazywa się ciąg sum częściowych.

    • Liczbę nazywa się granicą ciągu , jeżeli :

    • Sumą szeregu nazywa się liczbę , o ile granica ta istnieje i jest właściwa

  • Twierdzenia o zbieżności ciągów

    • zbieżność monotoniczna
      Jeśli jest ciągiem rosnącym i ograniczonym z góry, to jest on zbieżny

    • O granicy iloczynu ciągów ograniczonego i zbieżnego do zera
      Jeśli są ciągami takimi, że oraz jest ograniczony, to

    • O trzech ciągach
      Jeśli są ciągami takimi, że to

    • Bolzano-Weierstrassa
      Każdy ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny.

    • Jeśli , to

  • Twierdzenia o zbieżności szeregów

    • Warunek konieczny zbieżności szeregów
      Jeśli szereg jest zbieżny, to .

    • Warunek Cauchy’ego zbieżności szeregów
      Jeśli jest szeregiem, to szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy

    • O grupowaniu wyrazów szeregu
      Jeśli jest szeregiem zbieżnym, jest ciągiem silnie rosnącym takim, że , to szereg jest zbieżny oraz

    • Twierdzenie Riemanna
      Jeśli szereg jest warunkowo zbieżny (czyli jest zbieżny, ale nie bezwzględnie), to:

  • Kryteria zbieżności szeregów

    • Kryterium d’Alemberta

      Jeśli jest szeregiem o wyrazach dodatnich (to znaczy dla ), to

    • Kryterium Cauchy’ego Jeśli jest szeregiem o wyrazach nieujemnych (to znaczy dla ), to

    • Kryterium Raabego ??

    • Kryterium całkowe ??

    • Kryterium Leibniza ??

    • Kryterium Abela
      Jeżeli szereg jest zbieżny, a ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to szereg jest zbieżny.

    • Kryterium Dirichleta
      Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu jest ograniczony, a ciąg jest monotoniczny i zbieżny do , to szereg jest zbieżny.

  • Szereg potęgowy to szereg funkcyjny postaci gdzie stała zwana środkiem szeregu i współczynniki są liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi.

    Szereg potęgowy jest bezwzględnie zbieżny dla wszystkich liczb należących do pewnego koła otwartego o środku w punkcie i rozbieżny poza jego domknięciem. Koło to nazywamy kołem zbieżności szeregu, a jego promień zbieżności określony jest wzorem:

  • granica funkcji w punkcie

    • Mówimy, że punkt jest punktem skupienia zbioru , jeśli każda kula o środku w punkcie (i dodatnim promieniu) zawiera przynajmniej jeden punkt zbioru A różny od .

    • Definicja Cauchy’ego

    • Definicja Heinego

  • ciągłość funkcji jednej i wielu zmiennych

    • Definicja Cauchy’ego

    • Definicja Heinego

    • Definicja topologiczna jest ciągła, jeśli przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego w jest zbiorem otwartym w , co zapisuje się następująco:

  • Własności funkcji ciągłych

    • zwartość (Weierstrass)
      Jeśli A jest zbiorem zwartym w oraz jest funkcją ciągłą, to jest zbiorem zwartym w .

    • Kresy funkcji na zbiorze zwartym (Weierstrass)
      Jeśli jest zbiorem zwartym oraz jest funkcją ciągłą, to funkcja osiąga swoje kresy, to znaczy

    • Obraz zbioru spójnego jest zbiorem spójnym

    • Własność Darboux
      Jeśli jest funkcją ciągłą,, to

Advertisement