Granica i ciągłość

Ciąg i szereg liczbowy granica ciągu i szeregu

• ciąg: funkcja $ a: I -> X $, gdzie $ X $ jest pewnym zbiorem, a $ I $ podzbiorem zbioru liczb naturalnych

• Dla ciągu liczb rzeczywistych $ (a_n) $ definiuje się $ N $-tą sumę częściową ciągu $ (a_n) $: $ s_N = \sum_{n=0}^N a_n =a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_N. $

  Szeregiem nazywa się ciąg $ (s_N) $ sum częściowych.

• Liczbę $ g $ nazywa się granicą ciągu $ (a_n) $, jeżeli : $ \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_N\; \forall_{n > N}\; |a_n - g| < \varepsilon, $

• Sumą szeregu nazywa się liczbę $ S = \lim_{N \rightarrow \infty }s_N $, o ile granica ta istnieje i jest właściwa

Twierdzenia o zbieżności ciągów

• zbieżność monotoniczna
  Jeśli $ \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} $ jest ciągiem rosnącym i ograniczonym z góry, to jest on zbieżny

• O granicy iloczynu ciągów ograniczonego i zbieżnego do zera
  Jeśli $ \displaystyle\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R} $ są ciągami takimi, że $ \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0 $ oraz $ \displaystyle\{b_n\} $ jest ograniczony, to $ \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_nb_n=0. $

• O trzech ciągach
  Jeśli $ \displaystyle\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}\subseteq\mathbb{R} $ są ciągami takimi, że $ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} c_n=g\in\overline{\mathbb{R}} \quad\textrm{oraz}\quad \exists N\in \mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ a_n\le b_n\le c_n $ to $ \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=g $

• Bolzano-Weierstrassa
  Każdy ciąg ograniczony $ \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} $ zawiera podciąg zbieżny.

• Jeśli $ \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=a<1 $, to $ \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0 $

Twierdzenia o zbieżności szeregów

• Warunek konieczny zbieżności szeregów
  Jeśli szereg $ \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ jest zbieżny, to $ \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0 $.

• Warunek Cauchy’ego zbieżności szeregów
  Jeśli $ \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ jest szeregiem, to szereg $ \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $ \forall \varepsilon>0\ \ \exists N\in\mathbb{N}\ \ \forall m>n\ge N:\ \ \ \big|a_{n+1}+\ldots + a_m\big|<\varepsilon. $

• O grupowaniu wyrazów szeregu
  Jeśli $ \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ jest szeregiem zbieżnym, $ \displaystyle\{l_n\}\subseteq \mathbb{N} $ jest ciągiem silnie rosnącym takim, że $ l_1=1 $, to szereg $ \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\big(a_{l_n}+a_{l_n+1}+\ldots+a_{l_{n+1}-1}\big) $ jest zbieżny oraz$ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\big(a_{l_n}+a_{l_n+1}+\ldots+a_{l_{n+1}-1}\big) \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n $

• Twierdzenie Riemanna
  Jeśli szereg $ \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ jest warunkowo zbieżny (czyli jest zbieżny, ale nie bezwzględnie), to: $ \forall_{M \in R} \exists_{\sigma} \sum_{n=1}^\infty a_{\sigma (n)} = M $

Kryteria zbieżności szeregów

• Kryterium d’Alemberta
  

  Jeśli $ \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ jest szeregiem o wyrazach dodatnich (to znaczy $ a_n>0 $ dla $ n\in\mathbb{N} $), to $ \bigg[\exists_{p<1} \exists_{N\in\mathbb{N}} \forall_{n\ge N} \; \frac{a_{n+1}}{a_n}\le p\bigg] \Longrightarrow \bigg[\text{szereg} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ jest zbieżny} \bigg] $ $ \bigg[\exists_{N\in\mathbb{N}} \forall_{n\ge N} \; \frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1\bigg] \Longrightarrow \bigg[\text{szereg} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ jest rozbieżny} \bigg] $

• Kryterium Cauchy’ego Jeśli $ \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ jest szeregiem o wyrazach nieujemnych (to znaczy $ a_n\ge 0 $ dla $ n\in\mathbb{N} $), to $ \bigg[\exists_{p<1} \exists_{N\in\mathbb{N}} \forall_{n\ge N} \; \sqrt[n]{a_n}\le p\bigg] \Longrightarrow \bigg[\text{szereg} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ jest zbieżny} \bigg] $ $ \bigg[\sqrt[n]{a_n}\ge 1 \text{ dla nieskończenie wielu } n\in\mathbb{N}\bigg] \Longrightarrow \bigg[\text{szereg} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ jest rozbieżny} \bigg] $

• Kryterium Raabego ??

• Kryterium całkowe ??

• Kryterium Leibniza ??

• Kryterium Abela
  Jeżeli szereg $ \sum_{n=1}^\infty a_n $ jest zbieżny, a ciąg $ (b_n) $ jest monotoniczny i ograniczony, to szereg $ \sum_{n=1}^\infty a_nb_n $ jest zbieżny.

• Kryterium Dirichleta
  Jeżeli ciąg sum częściowych $ \left(\sum_{k=1}^n a_k\right)_{n=1}^\infty $ szeregu $ \sum_{n=1}^\infty a_n $ jest ograniczony, a ciąg $ (b_n) $ jest monotoniczny i zbieżny do $ 0 $, to szereg $ \sum_{n=1}^\infty a_nb_n $ jest zbieżny.

Szereg potęgowy to szereg funkcyjny postaci $ f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-a \right)^n $ gdzie stała $ a $ zwana środkiem szeregu i współczynniki $ a_n $ są liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi.

Szereg potęgowy jest bezwzględnie zbieżny dla wszystkich liczb należących do pewnego koła otwartego $ \{x:|x-a|<r\} $ o środku w punkcie $ a $ i rozbieżny poza jego domknięciem. Koło to nazywamy kołem zbieżności szeregu, a jego promień zbieżności $ r $ określony jest wzorem: $ r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}} $

granica funkcji w punkcie

• Mówimy, że punkt $ x_0 $ jest punktem skupienia zbioru $ A\subseteq \mathbb{R}^N $, jeśli każda kula o środku w punkcie $ x_0 $ (i dodatnim promieniu) zawiera przynajmniej jeden punkt zbioru A różny od $ x_0 $.

• Definicja Cauchy’ego $ \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (x_0 - \delta < x < x_0 \implies |f(x) - g| < \varepsilon) $

• Definicja Heinego $ \forall \{x_n\}\subseteq A\setminus\{x_0\}:\ \ \bigg[\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=x_0 \ \Longrightarrow\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} f(x_n)=g\bigg] $

ciągłość funkcji jednej i wielu zmiennych

• Definicja Cauchy’ego $ \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A:\ \ \bigg[|x-x_0|<\delta \ \Longrightarrow\ |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\bigg] $

• Definicja Heinego $ \forall \{x_n\}\subseteq A:\ \ \bigg[\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=x_0 \ \Longrightarrow\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} f(x_n)=f(x_0)\bigg] $

• Definicja topologiczna $ f \colon X \to Y $ jest ciągła, jeśli przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego w $ Y $ jest zbiorem otwartym w $ X $, co zapisuje się następująco: $ \forall_{U \in \tau_Y}\; f^{-1}(U) \in \tau_X $

Własności funkcji ciągłych

• zwartość (Weierstrass)
  Jeśli A jest zbiorem zwartym w $ \displaystyle\mathbb{R} $ oraz $ \displaystyle f\colon A\longrightarrow \mathbb{R} $ jest funkcją ciągłą, to $ f(A) $ jest zbiorem zwartym w $ \displaystyle\mathbb{R} $.

• Kresy funkcji na zbiorze zwartym (Weierstrass)
  Jeśli $ A\subseteq\mathbb{R} $ jest zbiorem zwartym oraz $ \displaystyle f\colon A\longrightarrow\mathbb{R} $ jest funkcją ciągłą, to funkcja $ f $ osiąga swoje kresy, to znaczy $ \exists x_1,x_2\in A\ \forall x\in A:\ f(x_1)\le f(x)\le f(x_2) $

• Obraz zbioru spójnego jest zbiorem spójnym

• Własność Darboux
  Jeśli $ a<b,\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow\mathbb{R} $ jest funkcją ciągłą,$ f(a)\cdot f(b)<0 $, to $ \exists c\in(a,b):\ \ f(c)=0. $