Granica i ciągłość

• Ciąg i szereg liczbowy granica ciągu i szeregu

  • ciąg: funkcja $a:I->X$, gdzie $X$ jest pewnym zbiorem, a $I$ podzbiorem zbioru liczb naturalnych

  • Dla ciągu liczb rzeczywistych $(a_{n})$ definiuje się $N$-tą sumę częściową ciągu $(a_{n})$: $s_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\dots +a_{N}.$

    Szeregiem nazywa się ciąg $(s_{N})$ sum częściowych.

  • Liczbę $g$ nazywa się granicą ciągu $(a_{n})$, jeżeli : $\forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{N}\;\forall _{n>N}\;|a_{n}-g|<\varepsilon ,$

  • Sumą szeregu nazywa się liczbę $S=\lim _{N\rightarrow \infty }s_{N}$, o ile granica ta istnieje i jest właściwa

• Twierdzenia o zbieżności ciągów

  • zbieżność monotoniczna
    Jeśli $\displaystyle \{a_{n}\}\subseteq \mathbb {R}$ jest ciągiem rosnącym i ograniczonym z góry, to jest on zbieżny

  • O granicy iloczynu ciągów ograniczonego i zbieżnego do zera
    Jeśli $\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}\subseteq \mathbb {R}$ są ciągami takimi, że $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=0$ oraz $\displaystyle \{b_{n}\}$ jest ograniczony, to $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}b_{n}=0.$

  • O trzech ciągach
    Jeśli $\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\},\{c_{n}\}\subseteq \mathbb {R}$ są ciągami takimi, że $\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }c_{n}=g\in {\overline {\mathbb {R} }}\quad {\textrm {oraz}}\quad \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:\ a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}$ to $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }b_{n}=g$

  • Bolzano-Weierstrassa
    Każdy ciąg ograniczony $\displaystyle \{a_{n}\}\subseteq \mathbb {R}$ zawiera podciąg zbieżny.

  • Jeśli $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=a<1$, to $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=0$

• Twierdzenia o zbieżności szeregów

  • Warunek konieczny zbieżności szeregów
    Jeśli szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ jest zbieżny, to $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=0$.

  • Warunek Cauchy’ego zbieżności szeregów
    Jeśli $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ jest szeregiem, to szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall \varepsilon >0\ \ \exists N\in \mathbb {N} \ \ \forall m>n\geq N:\ \ \ {\big |}a_{n+1}+\ldots +a_{m}{\big |}<\varepsilon .$

  • O grupowaniu wyrazów szeregu
    Jeśli $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ jest szeregiem zbieżnym, $\displaystyle \{l_{n}\}\subseteq \mathbb {N}$ jest ciągiem silnie rosnącym takim, że $l_{1}=1$, to szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\big (}a_{l_{n}}+a_{l_{n}+1}+\ldots +a_{l_{n+1}-1}{\big )}$ jest zbieżny oraz$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\big (}a_{l_{n}}+a_{l_{n}+1}+\ldots +a_{l_{n+1}-1}{\big )}\ =\ \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

  • Twierdzenie Riemanna
    Jeśli szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ jest warunkowo zbieżny (czyli jest zbieżny, ale nie bezwzględnie), to: $\forall _{M\in R}\exists _{\sigma }\sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=M$

• Kryteria zbieżności szeregów

  • Kryterium d’Alemberta
    

    Jeśli $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ jest szeregiem o wyrazach dodatnich (to znaczy $a_{n}>0$ dla $n\in \mathbb {N}$), to ${\bigg [}\exists _{p<1}\exists _{N\in \mathbb {N} }\forall _{n\geq N}\;{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq p{\bigg ]}\Longrightarrow {\bigg [}{\text{szereg}}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\text{ jest zbieżny}}{\bigg ]}$ ${\bigg [}\exists _{N\in \mathbb {N} }\forall _{n\geq N}\;{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq 1{\bigg ]}\Longrightarrow {\bigg [}{\text{szereg}}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\text{ jest rozbieżny}}{\bigg ]}$

  • Kryterium Cauchy’ego Jeśli $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ jest szeregiem o wyrazach nieujemnych (to znaczy $a_{n}\geq 0$ dla $n\in \mathbb {N}$), to ${\bigg [}\exists _{p<1}\exists _{N\in \mathbb {N} }\forall _{n\geq N}\;{\sqrt[{n}]{a_{n}}}\leq p{\bigg ]}\Longrightarrow {\bigg [}{\text{szereg}}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\text{ jest zbieżny}}{\bigg ]}$ ${\bigg [}{\sqrt[{n}]{a_{n}}}\geq 1{\text{ dla nieskończenie wielu }}n\in \mathbb {N} {\bigg ]}\Longrightarrow {\bigg [}{\text{szereg}}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\text{ jest rozbieżny}}{\bigg ]}$

  • Kryterium Raabego ??

  • Kryterium całkowe ??

  • Kryterium Leibniza ??

  • Kryterium Abela
    Jeżeli szereg $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ jest zbieżny, a ciąg $(b_{n})$ jest monotoniczny i ograniczony, to szereg $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$ jest zbieżny.

  • Kryterium Dirichleta
    Jeżeli ciąg sum częściowych $\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)_{n=1}^{\infty }$ szeregu $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ jest ograniczony, a ciąg $(b_{n})$ jest monotoniczny i zbieżny do $0$, to szereg $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$ jest zbieżny.

• Szereg potęgowy to szereg funkcyjny postaci $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-a\right)^{n}$ gdzie stała $a$ zwana środkiem szeregu i współczynniki $a_{n}$ są liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi.

  Szereg potęgowy jest bezwzględnie zbieżny dla wszystkich liczb należących do pewnego koła otwartego $\{x:|x-a|<r\}$ o środku w punkcie $a$ i rozbieżny poza jego domknięciem. Koło to nazywamy kołem zbieżności szeregu, a jego promień zbieżności $r$ określony jest wzorem: $r={\frac {1}{\limsup \limits _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}}$

• granica funkcji w punkcie

  • Mówimy, że punkt $x_{0}$ jest punktem skupienia zbioru $A\subseteq \mathbb {R} ^{N}$, jeśli każda kula o środku w punkcie $x_{0}$ (i dodatnim promieniu) zawiera przynajmniej jeden punkt zbioru A różny od $x_{0}$.

  • Definicja Cauchy’ego $\forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in A}\;(x_{0}-\delta <x<x_{0}\implies |f(x)-g|<\varepsilon )$

  • Definicja Heinego $\forall \{x_{n}\}\subseteq A\setminus \{x_{0}\}:\ \ {\bigg [}\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=x_{0}\ \Longrightarrow \ \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }f(x_{n})=g{\bigg ]}$

• ciągłość funkcji jednej i wielu zmiennych

  • Definicja Cauchy’ego $\forall \varepsilon >0\ \ \exists \delta >0\ \ \forall x\in A:\ \ {\bigg [}|x-x_{0}|<\delta \ \Longrightarrow \ |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon {\bigg ]}$

  • Definicja Heinego $\forall \{x_{n}\}\subseteq A:\ \ {\bigg [}\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=x_{0}\ \Longrightarrow \ \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }f(x_{n})=f(x_{0}){\bigg ]}$

  • Definicja topologiczna $f\colon X\to Y$ jest ciągła, jeśli przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego w $Y$ jest zbiorem otwartym w $X$, co zapisuje się następująco: $\forall _{U\in \tau _{Y}}\;f^{-1}(U)\in \tau _{X}$

• Własności funkcji ciągłych

  • zwartość (Weierstrass)
    Jeśli A jest zbiorem zwartym w $\displaystyle \mathbb {R}$ oraz $\displaystyle f\colon A\longrightarrow \mathbb {R}$ jest funkcją ciągłą, to $f(A)$ jest zbiorem zwartym w $\displaystyle \mathbb {R}$.

  • Kresy funkcji na zbiorze zwartym (Weierstrass)
    Jeśli $A\subseteq \mathbb {R}$ jest zbiorem zwartym oraz $\displaystyle f\colon A\longrightarrow \mathbb {R}$ jest funkcją ciągłą, to funkcja $f$ osiąga swoje kresy, to znaczy $\exists x_{1},x_{2}\in A\ \forall x\in A:\ f(x_{1})\leq f(x)\leq f(x_{2})$

  • Obraz zbioru spójnego jest zbiorem spójnym

  • Własność Darboux
    Jeśli $a<b,\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$ jest funkcją ciągłą,$f(a)\cdot f(b)<0$, to $\exists c\in (a,b):\ \ f(c)=0.$