Ciąg i szereg liczbowy granica ciągu i szeregu
ciąg: funkcja
, gdzie jest pewnym zbiorem, a podzbiorem zbioru liczb naturalnychDla ciągu liczb rzeczywistych
definiuje się -tą sumę częściową ciągu :Szeregiem nazywa się ciąg
sum częściowych.Liczbę
nazywa się granicą ciągu , jeżeli :Sumą szeregu nazywa się liczbę
, o ile granica ta istnieje i jest właściwa
Twierdzenia o zbieżności ciągów
zbieżność monotoniczna
Jeśli jest ciągiem rosnącym i ograniczonym z góry, to jest on zbieżnyO granicy iloczynu ciągów ograniczonego i zbieżnego do zera
Jeśli są ciągami takimi, że oraz jest ograniczony, toO trzech ciągach
Jeśli są ciągami takimi, że toBolzano-Weierstrassa
Każdy ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny.Jeśli
, to
Twierdzenia o zbieżności szeregów
Warunek konieczny zbieżności szeregów
Jeśli szereg jest zbieżny, to .Warunek Cauchy’ego zbieżności szeregów
Jeśli jest szeregiem, to szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdyO grupowaniu wyrazów szeregu
Jeśli jest szeregiem zbieżnym, jest ciągiem silnie rosnącym takim, że , to szereg jest zbieżny orazTwierdzenie Riemanna
Jeśli szereg jest warunkowo zbieżny (czyli jest zbieżny, ale nie bezwzględnie), to:
Kryteria zbieżności szeregów
Kryterium d’Alemberta
Jeśli
jest szeregiem o wyrazach dodatnich (to znaczy dla ), toKryterium Cauchy’ego Jeśli
jest szeregiem o wyrazach nieujemnych (to znaczy dla ), toKryterium Raabego ??
Kryterium całkowe ??
Kryterium Leibniza ??
Kryterium Abela
Jeżeli szereg jest zbieżny, a ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to szereg jest zbieżny.Kryterium Dirichleta
Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu jest ograniczony, a ciąg jest monotoniczny i zbieżny do , to szereg jest zbieżny.
Szereg potęgowy to szereg funkcyjny postaci
gdzie stała zwana środkiem szeregu i współczynniki są liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi.Szereg potęgowy jest bezwzględnie zbieżny dla wszystkich liczb należących do pewnego koła otwartego
o środku w punkcie i rozbieżny poza jego domknięciem. Koło to nazywamy kołem zbieżności szeregu, a jego promień zbieżności określony jest wzorem:granica funkcji w punkcie
Mówimy, że punkt
jest punktem skupienia zbioru , jeśli każda kula o środku w punkcie (i dodatnim promieniu) zawiera przynajmniej jeden punkt zbioru A różny od .Definicja Cauchy’ego
Definicja Heinego
ciągłość funkcji jednej i wielu zmiennych
Definicja Cauchy’ego
Definicja Heinego
Definicja topologiczna
jest ciągła, jeśli przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego w jest zbiorem otwartym w , co zapisuje się następująco:
Własności funkcji ciągłych
zwartość (Weierstrass)
Jeśli A jest zbiorem zwartym w oraz jest funkcją ciągłą, to jest zbiorem zwartym w .Kresy funkcji na zbiorze zwartym (Weierstrass)
Jeśli jest zbiorem zwartym oraz jest funkcją ciągłą, to funkcja osiąga swoje kresy, to znaczyObraz zbioru spójnego jest zbiorem spójnym
Własność Darboux
Jeśli jest funkcją ciągłą, , to
Advertisement
21
pages
Granica i ciągłość
Advertisement