FANDOM


Definicja ekstremum funkcji Edit

  • Funkcja posiada w punkcie $ x_0 $ minimum lokalne, jeśli istnieje otoczenie otwarte $ U $ punktu $ x_{0} $ takie, że: $ \forall_{x\in U} \; f(x)\geq f(x_{0}) $
  • Jeśli dodatkowo: $ \forall_{x\in U} \; f(x) > f(x_{0}) $ to takie minimum nazywamy właściwym minimum lokalnym.
  • Jeśli sytuacja taka zachodzi dla wszystkich $ x $ należących do dziedziny $ X $, czyli: $ \forall_{x\in X} \; f(x) \geq f(x_{0}) \text{ oraz } \forall_{x\in X} \; f(x) > f(x_{0}) $ to minima te nazywamy odpowiednio minimum globalnym oraz właściwym minimum globalnym.

Związek z pochodną Edit

Jeśli funkcja różniczkowalna $ \displaystyle f: X\subset U\mapsto \mathbb{R} $ osiąga ekstremum w punkcie $ \displaystyle a $ zbioru otwartego $ \displaystyle U $, to w punkcie tym zeruje się różniczka funkcji $ \displaystyle f $, tzn. $ \displaystyle d_a f(h)=0 $, gdzie $ \displaystyle h\in X $ jest dowolnym wektorem przestrzeni $ \displaystyle X $.

Warunki dostateczne istnienia ekstremum funkcji klasy $ C^1 $ (jednej i wielu zmiennych) Edit

Definicje pomocnicze Edit

  • Symetryczną macierz kwadratową $ M $ rozmiaru $ n \times n $ nazywamy dodatnio określoną, gdy dla każdego niezerowego wektora $ z $ wymiaru $ n $ zachodzi $ z^T M z > 0 $. Analogicznie macierz $ M $ nazywamy ujemnie określoną, jeśli $ z^T M z < 0 $.
  • Kryterium Sylvestera
    • Macierz $ M $ jest dodatnio określona, gdy spełnia $ \forall_{l\in \{1,\ldots ,n\}} \; \det {\begin{bmatrix}a_{{11}}&a_{{12}}&\dots &a_{{1l}}\\a_{{21}}&a_{{22}}&\dots &a_{{2l}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{l1}}&a_{{l2}}&\dots &a_{{ll}}\end{bmatrix}}>0 $
    • Macierz $ M $ jest ujemnie określona, gdy spełnia: $ \forall_{l\in \{1,\ldots ,n\}} \; \left(-1\right)^l \det {\begin{bmatrix}a_{{11}}&a_{{12}}&\dots &a_{{1l}}\\a_{{21}}&a_{{22}}&\dots &a_{{2l}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{l1}}&a_{{l2}}&\dots &a_{{ll}}\end{bmatrix}}>0 $
  • Druga pochodna funkcji wielu zmiennych
    Macierzą Hessego funkcji $ f $ w punkcie $ x_{0} $ nazywamy macierz $ H(x_{0}):={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}(x_{0})&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}(x_{0})&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n}}}(x_{0})\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}(x_{0})&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}(x_{0})&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n}}}(x_{0})\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{1}}}(x_{0})&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2}}}(x_{0})&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}(x_{0})\end{bmatrix}} $

Warunki Edit

  • wielu zmiennych Niech, jak poprzednio, funkcja $ f $, będzie dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu $ U\subseteq D $ punktu $ x_{0} $, przy czym $ f^{\prime }(x_{0})=0 $, a pochodna $ f^{{\prime \prime }} $ jest ciągła w $ x_{0} $.
    • Jeżeli $ f^{{\prime \prime }}(x_{0}) $ jest dodatnio określona, to $ f $ ma minimum lokalne właściwe w punkcie $ x_{0} $
    • Jeżeli $ f^{{\prime \prime }}(x_{0}) $ jest ujemnie określona, to $ f $ ma maksimum lokalne właściwe w punkcie $ x_{0} $
  • jednej zmiennej - to samo, tylko określoność macierzy jest trywialna

Ekstrema związane (warunkowe) - interpretacja geometryczna Edit

  • Definicja
    Niech $ \displaystyle X, Y $ będą przestrzeniami Banacha i niech $ \displaystyle G: X\mapsto Y, \displaystyle F:X\mapsto \mathbb{R} $ będą funkcjami.

    Mówimy, że funkcja $ \displaystyle F $ osiąga ekstremum warunkowe w punkcie $ \displaystyle a $ przy warunku $ \displaystyle a\in \{G=0\} $, jeśli obcięcie funkcji $ \displaystyle F $ do poziomicy $ \displaystyle \{G=0\} $ osiąga ekstremum w tym punkcie.

  • interpretacja geometryczna - jest to ekstremum osiągane na podzbiorze $ \mathbb R^n $ będącym hiperpłaszczyzną w $ \mathbb R^n $

Metoda mnożników Lagrange’a Edit

Lagranżjan ($ \mathbf x \in \mathbb R^n $): $ \Lambda( \mathbf x,\lambda) = f(\mathbf x) + \lambda \cdot \Big(G(\mathbf x)-c\Big), $

Pojedynczy warunek Edit

Celem jest rozwiązanie problemu: znajdź maksimum funkcji $ f(\mathbf x) $ na zbiorze zadanym warunkiem $ G(\mathbf x) = 0 $
Rozwiązanie Rozwiąż układ równań $ \begin{cases} G(\mathbf x)=0 & \mathbf x \text{ spełnia warunek} \\ \nabla \Lambda( \mathbf x,\lambda) = \nabla f(\mathbf x)-\lambda \, \nabla G(\mathbf x) = 0 & \mathbf x \text{ jest punktem krytycznym}. \end{cases} $ w ten sposób znajdujemy punkty, które są potencjalnymi ekstremami.

Teraz możemy jeszcze sprawdzić dodatnią/ujemną określoność hesjanu dla $ \Lambda( \mathbf x,\lambda) $ lub gdy mamy do czynienia ze zbiorem zwartym, to po prostu wybrać największe/najmniejsze ekstremum.

Wiele warunków Edit

$ \Lambda( \mathbf x,\lambda) = f(\mathbf x) + \sum_{k=1}^M {\lambda_k \, \nabla G_k (\mathbf x)} $ $ \begin{cases} G_1(\mathbf x) = G_2(\mathbf x) = \cdots = G_M(\mathbf x) = 0 & \mathbf x \text{ satisfies all constraints} \\ \nabla \Lambda( \mathbf x,\lambda) = \nabla f(\mathbf x) - \sum_{k=1}^M {\lambda_k \, \nabla G_k (\mathbf x)} = 0 & \mathbf x \text{ is a stationary point}. \end{cases} $

Przykłady różnych problemów prowadzących do zadania wyznaczenia ekstremum funkcji Edit

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.