Najbardziej znane rozkłady prawdopodobieństwa

• Definicje

  • Miarę $\mu$ przestrzeni mierzalnej z miarą $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ nazywamy miarą probabilistyczna jeśli spełnia warunek $\mu (\Omega )=1\,$

  • Rozkładem prawdopodobieństwa nazywamy miarę probabilistyczną $P$ określoną na ,,$\sigma$-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni polskiej”, w praktyce na $\R^n$.

  • Dystrybuantą rozkładu ${\mathbb P}$ nazywamy funkcję $F\colon {\mathbb R}\to {\mathbb R}$ daną wzorem: $F(t)={\mathbb {P}}((-\infty ,t])$

  • Wartość oczekiwaną zmiennej losowej $X$ definiuje się jako całkę $\mathbb EX = \int\limits_\Omega X d\mathbb P$ W przypadku dyskretnym wzór ten przyjmuje postać: $\mathbb EX = \sum_{i=1}^n x_i p_i.$

  • Wariancja zmiennej losowej $X$ zdefiniowana jest wzorem: $\operatorname {Var}[X]= \mathbb E[(X- \mathbb E X )^{2}],$ Wzorem przydatnym przy obliczaniu wariancji jest: $\operatorname {Var}[X]= \mathbb E(X^{2})-[\mathbb E(X)]^{2}\;.$

  • Kowariancję definiuje się wzorem: $\operatorname {cov}(X,Y)={\mathbb {E}}[(X-{\mathbb {E}}X)\cdot (Y-{\mathbb {E}}Y)]\ .$ Wygodniejszym, równoważnym wzorem jest: Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \operatorname {cov}(X,Y)={\mathbb {E}}(X\cdot Y)-{\mathbb {E}}X\cdot {\mathbb {E}}Y\}

• Własności wartości oczekiwanej i wariancji:
  Dowolne zmienne losowe

  • ${\Bbb E} (\alpha X) = \alpha {\Bbb E} (X) \text{ dla każdej liczby } \alpha\in {\Bbb R}$

  • ${\Bbb E} (X + Y) = {\Bbb E} (X) + {\Bbb E} (Y),$

  • ${\Bbb E} (X \cdot Y)^2 \le {\Bbb E}(X^2) \cdot {\Bbb E}(Y^2)$

  • ${\Bbb D}^2 (X) = {\Bbb E} (X^2) - {\Bbb E} (X)^2$

  • ${\Bbb D}^2 (\alpha X) = \alpha^2 {\Bbb D}^2 (X) \text{ dla każdej liczby } \alpha\in {\Bbb R}$

  • $X = const = c\Longleftrightarrow{\Bbb D}^2 (X) = 0$

  Zmienne niezależne

  • $\Bbb E(|X|) < \infty \wedge E(|Y|) < \infty \implies {\Bbb E} (X \cdot Y) = {\Bbb E} (X) \cdot {\Bbb E} (Y).$

  • ${\Bbb D}^2 (X) <\infty \wedge {\Bbb D}^2 (Y) < \infty \implies {\Bbb D}^2 (X + Y) = {\Bbb D}^2 (X) + {\Bbb D}^2 (Y).$

• Rozkłady dyskretne

  • Bernoulli’ego $B(n,p)$ - rozkład wyniku $n$ rzutów monetą, w których prawdopodobieństwo sukcesu wynosi $p$

    $P(X = k) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}, \qquad$$P(X \le k) = \sum_{i=0}^{\lfloor k \rfloor} {n\choose i}p^i(1-p)^{n-i}, \qquad$$\Bbb E[X] = np, \qquad$${\Bbb Var}[X] = np(1 - p,)\qquad$

    • przykład1

  • Poissona $Pois(\lambda)$ - rozkład wyrażający prawdopodobieństwo szeregu wydarzeń mających miejsce w określonym czasie, gdy te wydarzenia występują ze znaną średnią częstotliwością i w sposób niezależny od czasu jaki upłynął od ostatniego zajścia takiego zdarzenia

    Failed to parse (unknown function "\begin{gathered}"): {\displaystyle \begin{gathered} P(X=k)= \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \qquad P(X \le k) = e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{\lfloor k\rfloor} \frac{\lambda^i}{i!} \qquad \begin{split} \operatorname{E}[X] &= \lambda \\ \operatorname{Var}[X] &= \lambda \end{split}\end{gathered}}

    • przykład1

  • hipergeometryczny - określa liczbę ,,sukcesów” przy losowaniu bez zwracania $n$ elementów z $N$ elementowej urny, w której jest $K$ elementów typu ,,sukces”.

    Failed to parse (unknown function "\begin{gathered}"): {\displaystyle \begin{gathered} P(X=k) = \frac{{K \choose k} {N-K \choose n-k}}{{N \choose n}} \qquad P(X \le k) = ? \qquad \begin{split} \operatorname{E}[X] &= n {K\over N} \\ \operatorname{Var}[X] &= ? \end{split}\end{gathered}}

    • przykład1

• Rozkłady ciągłe

  • normalny zwany też rozkładem Gaussa – jeden z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa. Odgrywa ważną rolę w statystycznym opisie zagadnień przyrodniczych, przemysłowych, medycznych, społecznych itp. Wykres funkcji prawdopodobieństwa tego rozkładu jest krzywą dzwonową.

    Failed to parse (unknown function "\begin{gathered}"): {\displaystyle \begin{gathered} \phi(x) = \frac{e^{- \frac{\scriptscriptstyle 1}{\scriptscriptstyle 2} x^2}}{\sqrt{2\pi}}\, \qquad \operatorname P(X\leq x)=\int \limits _{{-\infty }}^{x}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{{-(u-\mu )^{2} \over (2\sigma ^{2})}}\,du \qquad \begin{split} \operatorname{E}[X] &= \mu \\ \operatorname{Var}[X] &= \sigma ^{2} \end{split}\end{gathered}}

    • przykład1

  • wykładniczy - rozkład opisujący proces Poissona, to znaczy taki, w którym wydarzenia następują ciągle i niezależnie od siebie ze stałym średnim tempem.

    Failed to parse (unknown function "\begin{gathered}"): {\displaystyle \begin{gathered} \phi(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x \ge 0, \\ 0 & x < 0. \end{cases} \qquad F(t) = \begin{cases} 1-e^{-\lambda t} & t \ge 0, \\ 0 & t < 0. \end{cases} \qquad \begin{split} \operatorname{E}[X] &= \lambda^{-1} \\ \operatorname{Var}[X] &= \lambda^{-2} \end{split}\end{gathered}}

    • przykład1

  • Cauchy’ego - standardowy to rozkład ilorazu niezależnych zmiennych normalnych

    Failed to parse (unknown function "\begin{gathered}"): {\displaystyle \begin{gathered} \phi(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}. \! \qquad F(x)=\frac{1}{\pi} \arctan\left(x\right)+\frac{1}{2} \qquad \begin{split} \operatorname{E}[X] &= \mu \\ \operatorname{Var}[X] &= \sigma ^{2} \end{split}\end{gathered}}

    • przykład1

  • $\mathbf{\chi}$-kwadrat - suma kwadratów zmiennych o rozkładzie normalnym, czyli dla $X_i \sim N(0,1)$: $Y=\sum _{{i=1}}^{k}(X_{i})^{2} \Longleftrightarrow Y\sim \chi _{k}^{2},$

    Failed to parse (unknown function "\begin{gathered}"): {\displaystyle \begin{gathered} \phi(x) = ? \qquad F(x;\,2) = 1 - e^{-\frac{x}{2}} \qquad \begin{split} \operatorname{E}[X] &= k \\ \operatorname{Var}[X] &= 2k \end{split}\end{gathered}}

    • przykład1