Egzamin Magisterski MIMUW Wiki
Advertisement
  • Definicje

    • Miarę przestrzeni mierzalnej z miarą nazywamy miarą probabilistyczna jeśli spełnia warunek

    • Rozkładem prawdopodobieństwa nazywamy miarę probabilistyczną określoną na ,,-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni polskiej”, w praktyce na .

    • Dystrybuantą rozkładu nazywamy funkcję daną wzorem:

    • Wartość oczekiwaną zmiennej losowej definiuje się jako całkę W przypadku dyskretnym wzór ten przyjmuje postać:

    • Wariancja zmiennej losowej zdefiniowana jest wzorem: Wzorem przydatnym przy obliczaniu wariancji jest:

    • Kowariancję definiuje się wzorem: Wygodniejszym, równoważnym wzorem jest: Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \operatorname {cov}(X,Y)={\mathbb {E}}(X\cdot Y)-{\mathbb {E}}X\cdot {\mathbb {E}}Y\}

  • Własności wartości oczekiwanej i wariancji:
    Dowolne zmienne losowe

    Zmienne niezależne

  • Rozkłady dyskretne

    • Bernoulli’ego - rozkład wyniku rzutów monetą, w których prawdopodobieństwo sukcesu wynosi

      • przykład1

    • Poissona - rozkład wyrażający prawdopodobieństwo szeregu wydarzeń mających miejsce w określonym czasie, gdy te wydarzenia występują ze znaną średnią częstotliwością i w sposób niezależny od czasu jaki upłynął od ostatniego zajścia takiego zdarzenia

      Failed to parse (unknown function "\begin{gathered}"): {\displaystyle \begin{gathered} P(X=k)= \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \qquad P(X \le k) = e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{\lfloor k\rfloor} \frac{\lambda^i}{i!} \qquad \begin{split} \operatorname{E}[X] &= \lambda \\ \operatorname{Var}[X] &= \lambda \end{split}\end{gathered}}

      • przykład1

    • hipergeometryczny - określa liczbę ,,sukcesów” przy losowaniu bez zwracania elementów z elementowej urny, w której jest elementów typu ,,sukces”.

      Failed to parse (unknown function "\begin{gathered}"): {\displaystyle \begin{gathered} P(X=k) = \frac{{K \choose k} {N-K \choose n-k}}{{N \choose n}} \qquad P(X \le k) = ? \qquad \begin{split} \operatorname{E}[X] &= n {K\over N} \\ \operatorname{Var}[X] &= ? \end{split}\end{gathered}}

      • przykład1

  • Rozkłady ciągłe

    • normalny zwany też rozkładem Gaussa – jeden z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa. Odgrywa ważną rolę w statystycznym opisie zagadnień przyrodniczych, przemysłowych, medycznych, społecznych itp. Wykres funkcji prawdopodobieństwa tego rozkładu jest krzywą dzwonową.

      Failed to parse (unknown function "\begin{gathered}"): {\displaystyle \begin{gathered} \phi(x) = \frac{e^{- \frac{\scriptscriptstyle 1}{\scriptscriptstyle 2} x^2}}{\sqrt{2\pi}}\, \qquad \operatorname P(X\leq x)=\int \limits _{{-\infty }}^{x}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{{-(u-\mu )^{2} \over (2\sigma ^{2})}}\,du \qquad \begin{split} \operatorname{E}[X] &= \mu \\ \operatorname{Var}[X] &= \sigma ^{2} \end{split}\end{gathered}}

      • przykład1

    • wykładniczy - rozkład opisujący proces Poissona, to znaczy taki, w którym wydarzenia następują ciągle i niezależnie od siebie ze stałym średnim tempem.

      Failed to parse (unknown function "\begin{gathered}"): {\displaystyle \begin{gathered} \phi(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x \ge 0, \\ 0 & x < 0. \end{cases} \qquad F(t) = \begin{cases} 1-e^{-\lambda t} & t \ge 0, \\ 0 & t < 0. \end{cases} \qquad \begin{split} \operatorname{E}[X] &= \lambda^{-1} \\ \operatorname{Var}[X] &= \lambda^{-2} \end{split}\end{gathered}}

      • przykład1

    • Cauchy’ego - standardowy to rozkład ilorazu niezależnych zmiennych normalnych

      Failed to parse (unknown function "\begin{gathered}"): {\displaystyle \begin{gathered} \phi(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}. \! \qquad F(x)=\frac{1}{\pi} \arctan\left(x\right)+\frac{1}{2} \qquad \begin{split} \operatorname{E}[X] &= \mu \\ \operatorname{Var}[X] &= \sigma ^{2} \end{split}\end{gathered}}

      • przykład1

    • -kwadrat - suma kwadratów zmiennych o rozkładzie normalnym, czyli dla :

      Failed to parse (unknown function "\begin{gathered}"): {\displaystyle \begin{gathered} \phi(x) = ? \qquad F(x;\,2) = 1 - e^{-\frac{x}{2}} \qquad \begin{split} \operatorname{E}[X] &= k \\ \operatorname{Var}[X] &= 2k \end{split}\end{gathered}}

      • przykład1