FANDOM


  • Definicje

    • Miarę $ \mu $ przestrzeni mierzalnej z miarą $ (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ) $ nazywamy miarą probabilistyczna jeśli spełnia warunek $ \mu (\Omega )=1\, $

    • Rozkładem prawdopodobieństwa nazywamy miarę probabilistyczną $ P $ określoną na ,,$ \sigma $-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni polskiej”, w praktyce na $ \mathbb R^n $.

    • Dystrybuantą rozkładu $ {\mathbb P} $ nazywamy funkcję $ F\colon {\mathbb R}\to {\mathbb R} $ daną wzorem: $ F(t)={\mathbb {P}}((-\infty ,t]) $

    • Wartość oczekiwaną zmiennej losowej $ X $ definiuje się jako całkę $ \mathbb EX = \int\limits_\Omega X d\mathbb P $ W przypadku dyskretnym wzór ten przyjmuje postać: $ \mathbb EX = \sum_{i=1}^n x_i p_i. $

    • Wariancja zmiennej losowej $ X $ zdefiniowana jest wzorem: $ \operatorname {Var}[X]= \mathbb E[(X- \mathbb E X )^{2}], $ Wzorem przydatnym przy obliczaniu wariancji jest: $ \operatorname {Var}[X]= \mathbb E(X^{2})-[\mathbb E(X)]^{2}\;. $

    • Kowariancję definiuje się wzorem: $ \operatorname {cov}(X,Y)={\mathbb {E}}[(X-{\mathbb {E}}X)\cdot (Y-{\mathbb {E}}Y)]\ . $ Wygodniejszym, równoważnym wzorem jest: $ \operatorname {cov}(X,Y)={\mathbb {E}}(X\cdot Y)-{\mathbb {E}}X\cdot {\mathbb {E}}Y\ $

  • Własności wartości oczekiwanej i wariancji:
    Dowolne zmienne losowe

    • $ {\Bbb E} (\alpha X) = \alpha {\Bbb E} (X) \text{ dla każdej liczby } \alpha\in {\Bbb R} $

    • $ {\Bbb E} (X + Y) = {\Bbb E} (X) + {\Bbb E} (Y), $

    • $ {\Bbb E} (X \cdot Y)^2 \le {\Bbb E}(X^2) \cdot {\Bbb E}(Y^2) $

    • $ {\Bbb D}^2 (X) = {\Bbb E} (X^2) - {\Bbb E} (X)^2 $

    • $ {\Bbb D}^2 (\alpha X) = \alpha^2 {\Bbb D}^2 (X) \text{ dla każdej liczby } \alpha\in {\Bbb R} $

    • $ X = const = c\Longleftrightarrow{\Bbb D}^2 (X) = 0 $

    Zmienne niezależne

    • $ \Bbb E(|X|) < \infty \wedge E(|Y|) < \infty \implies {\Bbb E} (X \cdot Y) = {\Bbb E} (X) \cdot {\Bbb E} (Y). $

    • $ {\Bbb D}^2 (X) <\infty \wedge {\Bbb D}^2 (Y) < \infty \implies {\Bbb D}^2 (X + Y) = {\Bbb D}^2 (X) + {\Bbb D}^2 (Y). $

  • Rozkłady dyskretne

    • Bernoulli’ego $ B(n,p) $ - rozkład wyniku $ n $ rzutów monetą, w których prawdopodobieństwo sukcesu wynosi $ p $

      $ P(X = k) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}, \qquad $$ P(X \le k) = \sum_{i=0}^{\lfloor k \rfloor} {n\choose i}p^i(1-p)^{n-i}, \qquad $$ \Bbb E[X] = np, \qquad $$ {\Bbb Var}[X] = np(1 - p,)\qquad $

      • przykład1

    • Poissona $ Pois(\lambda) $ - rozkład wyrażający prawdopodobieństwo szeregu wydarzeń mających miejsce w określonym czasie, gdy te wydarzenia występują ze znaną średnią częstotliwością i w sposób niezależny od czasu jaki upłynął od ostatniego zajścia takiego zdarzenia

      $ \begin{gathered} P(X=k)= \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \qquad P(X \le k) = e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{\lfloor k\rfloor} \frac{\lambda^i}{i!} \qquad \begin{split} \operatorname{E}[X] &= \lambda \\ \operatorname{Var}[X] &= \lambda \end{split}\end{gathered} $

      • przykład1

    • hipergeometryczny - określa liczbę ,,sukcesów” przy losowaniu bez zwracania $ n $ elementów z $ N $ elementowej urny, w której jest $ K $ elementów typu ,,sukces”.

      $ \begin{gathered} P(X=k) = \frac{{K \choose k} {N-K \choose n-k}}{{N \choose n}} \qquad P(X \le k) = ? \qquad \begin{split} \operatorname{E}[X] &= n {K\over N} \\ \operatorname{Var}[X] &= ? \end{split}\end{gathered} $

      • przykład1

  • Rozkłady ciągłe

    • normalny zwany też rozkładem Gaussa – jeden z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa. Odgrywa ważną rolę w statystycznym opisie zagadnień przyrodniczych, przemysłowych, medycznych, społecznych itp. Wykres funkcji prawdopodobieństwa tego rozkładu jest krzywą dzwonową.

      $ \begin{gathered} \phi(x) = \frac{e^{- \frac{\scriptscriptstyle 1}{\scriptscriptstyle 2} x^2}}{\sqrt{2\pi}}\, \qquad \operatorname P(X\leq x)=\int \limits _{{-\infty }}^{x}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{{-(u-\mu )^{2} \over (2\sigma ^{2})}}\,du \qquad \begin{split} \operatorname{E}[X] &= \mu \\ \operatorname{Var}[X] &= \sigma ^{2} \end{split}\end{gathered} $

      • przykład1

    • wykładniczy - rozkład opisujący proces Poissona, to znaczy taki, w którym wydarzenia następują ciągle i niezależnie od siebie ze stałym średnim tempem.

      $ \begin{gathered} \phi(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x \ge 0, \\ 0 & x < 0. \end{cases} \qquad F(t) = \begin{cases} 1-e^{-\lambda t} & t \ge 0, \\ 0 & t < 0. \end{cases} \qquad \begin{split} \operatorname{E}[X] &= \lambda^{-1} \\ \operatorname{Var}[X] &= \lambda^{-2} \end{split}\end{gathered} $

      • przykład1

    • Cauchy’ego - standardowy to rozkład ilorazu niezależnych zmiennych normalnych

      $ \begin{gathered} \phi(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}. \! \qquad F(x)=\frac{1}{\pi} \arctan\left(x\right)+\frac{1}{2} \qquad \begin{split} \operatorname{E}[X] &= \mu \\ \operatorname{Var}[X] &= \sigma ^{2} \end{split}\end{gathered} $

      • przykład1

    • $ \mathbf{\chi} $-kwadrat - suma kwadratów zmiennych o rozkładzie normalnym, czyli dla $ X_{i}\sim N(0,1) $: $ Y=\sum _{{i=1}}^{k}(X_{i})^{2} \Longleftrightarrow Y\sim \chi _{k}^{2}, $

      $ \begin{gathered} \phi(x) = ? \qquad F(x;\,2) = 1 - e^{-\frac{x}{2}} \qquad \begin{split} \operatorname{E}[X] &= k \\ \operatorname{Var}[X] &= 2k \end{split}\end{gathered} $

      • przykład1

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.