Editing Najbardziej znane rozkłady prawdopodobieństwa

<ul>
<li><p>Definicje</p>
<ul>
<li><p>Miarę <math>\mu</math> przestrzeni mierzalnej z miarą <math>(\Omega ,{\mathcal  {A}},\mu )</math> nazywamy '''miarą probabilistyczna''' jeśli spełnia warunek <math>\mu (\Omega )=1\,</math></p></li>
<li><p>'''Rozkładem prawdopodobieństwa''' nazywamy miarę probabilistyczną <math>P</math> określoną na ,,<math>\sigma</math>-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni polskiej”, w praktyce na <math>\mathbb R^n</math>.</p></li>
<li><p>'''Dystrybuantą''' rozkładu <math>{\mathbb  P}</math> nazywamy funkcję <math>F\colon {\mathbb  R}\to {\mathbb  R}</math> daną wzorem: <math>F(t)={\mathbb  {P}}((-\infty ,t])</math></p></li>
<li><p>'''Wartość oczekiwaną''' zmiennej losowej <math>X</math> definiuje się jako całkę <math>\mathbb EX = \int\limits_\Omega X d\mathbb P</math> W przypadku dyskretnym wzór ten przyjmuje postać: <math>\mathbb EX = \sum_{i=1}^n x_i p_i.</math></p></li>
<li><p>'''Wariancja''' zmiennej losowej <math>X</math> zdefiniowana jest wzorem: <math>\operatorname {Var}[X]= \mathbb E[(X- \mathbb E X )^{2}],</math> Wzorem przydatnym przy obliczaniu wariancji jest: <math>\operatorname {Var}[X]= \mathbb E(X^{2})-[\mathbb E(X)]^{2}\;.</math></p></li>
<li><p>'''Kowariancję''' definiuje się wzorem: <math>\operatorname {cov}(X,Y)={\mathbb  {E}}[(X-{\mathbb  {E}}X)\cdot (Y-{\mathbb  {E}}Y)]\ .</math> Wygodniejszym, równoważnym wzorem jest: <math>\operatorname {cov}(X,Y)={\mathbb  {E}}(X\cdot Y)-{\mathbb  {E}}X\cdot {\mathbb  {E}}Y\</math></p></li></ul>
</li>
<li><p>Własności wartości oczekiwanej i wariancji:<br />Dowolne zmienne losowe</p>
<ul>
<li><p><math>{\Bbb E} (\alpha X) = \alpha {\Bbb E} (X) \text{ dla każdej liczby } \alpha\in {\Bbb R}</math></p></li>
<li><p><math>{\Bbb E} (X + Y) = {\Bbb E} (X) + {\Bbb E} (Y),</math></p></li>
<li><p><math>{\Bbb E} (X \cdot Y)^2 \le {\Bbb E}(X^2)  \cdot  {\Bbb E}(Y^2)</math></p></li>
<li><p><math>{\Bbb D}^2 (X) = {\Bbb E} (X^2) - {\Bbb E} (X)^2</math></p></li>
<li><p><math>{\Bbb D}^2 (\alpha X) = \alpha^2 {\Bbb D}^2 (X) \text{ dla każdej liczby } \alpha\in {\Bbb R}</math></p></li>
<li><p><math>X = const = c\Longleftrightarrow{\Bbb D}^2 (X) = 0</math></p></li></ul>

<p>Zmienne niezależne</p>
<ul>
<li><p><math>E(|X|) < \infty \wedge E(|Y|) < \infty \implies {\Bbb E} (X \cdot Y) = {\Bbb E} (X) \cdot {\Bbb E} (Y).</math></p></li>
<li><p><math> {\Bbb D}^2 (X) <\infty \wedge {\Bbb D}^2 (Y) < \infty \implies {\Bbb D}^2 (X + Y) = {\Bbb D}^2 (X) + {\Bbb D}^2 (Y).</math></p></li></ul>
</li>
<li><p>Rozkłady dyskretne</p>
<ul>
<li><p>'''Bernoulli’ego''' <math>B(n,p)</math> - rozkład wyniku <math>n</math> rzutów monetą, w których prawdopodobieństwo sukcesu wynosi <math>p</math></p>
<p><math>\begin{gathered}
P(X = k) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k} \qquad
P(X \le k) = \sum_{i=0}^{\lfloor k \rfloor} {n\choose i}p^i(1-p)^{n-i} \qquad
\begin{split}
\operatorname{E}[X] &= np \\
\operatorname{Var}[X] &= np(1 - p)
\end{split}\end{gathered}</math></p>
<ul>
<li><p>przykład1</p></li></ul>
</li>
<li><p>'''Poissona''' <math>Pois(\lambda)</math> - rozkład wyrażający prawdopodobieństwo szeregu wydarzeń mających miejsce w określonym czasie, gdy te wydarzenia występują ze znaną średnią częstotliwością i w sposób niezależny od czasu jaki upłynął od ostatniego zajścia takiego zdarzenia</p>
<p><math>\begin{gathered}
P(X=k)= \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \qquad
P(X \le k) = e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{\lfloor k\rfloor} \frac{\lambda^i}{i!} \qquad
\begin{split}
\operatorname{E}[X] &= \lambda \\
\operatorname{Var}[X] &= \lambda
\end{split}\end{gathered}</math></p>
<ul>
<li><p>przykład1</p></li></ul>
</li>
<li><p>'''hipergeometryczny''' - określa liczbę ,,sukcesów” przy losowaniu bez zwracania <math>n</math> elementów z <math>N</math> elementowej urny, w której jest <math>K</math> elementów typu ,,sukces”.</p>
<p><math>\begin{gathered}
P(X=k) = \frac{{K \choose k} {N-K \choose n-k}}{{N \choose n}} \qquad
P(X \le k) = ? \qquad
\begin{split}
\operatorname{E}[X] &= n {K\over N} \\
\operatorname{Var}[X] &= ?
\end{split}\end{gathered}</math></p>
<ul>
<li><p>przykład1</p></li></ul>
</li></ul>
</li>
<li><p>Rozkłady ciągłe</p>
<ul>
<li><p>'''normalny''' zwany też '''rozkładem Gaussa''' – jeden z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa. Odgrywa ważną rolę w statystycznym opisie zagadnień przyrodniczych, przemysłowych, medycznych, społecznych itp. Wykres funkcji prawdopodobieństwa tego rozkładu jest ''krzywą dzwonową''.</p>
<p><math>\begin{gathered}
\phi(x) = \frac{e^{- \frac{\scriptscriptstyle 1}{\scriptscriptstyle 2} x^2}}{\sqrt{2\pi}}\, \qquad
\operatorname P(X\leq x)=\int \limits _{{-\infty }}^{x}{\frac  {1}{\sigma {\sqrt  {2\pi }}}}e^{{-(u-\mu )^{2} \over (2\sigma ^{2})}}\,du \qquad
\begin{split}
\operatorname{E}[X] &= \mu \\
\operatorname{Var}[X] &= \sigma ^{2}
\end{split}\end{gathered}</math></p>
<ul>
<li><p>przykład1</p></li></ul>
</li>
<li><p>'''wykładniczy''' - rozkład opisujący proces Poissona, to znaczy taki, w którym wydarzenia następują ciągle i niezależnie od siebie ze stałym średnim tempem.</p>
<p><math>\begin{gathered}
\phi(x) = \begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x} & x \ge 0, \\
0 & x < 0.
\end{cases} \qquad
F(t) = \begin{cases}
1-e^{-\lambda t} & t \ge 0, \\
0 & t < 0.
\end{cases} \qquad
\begin{split}
\operatorname{E}[X] &= \lambda^{-1} \\
\operatorname{Var}[X] &= \lambda^{-2}
\end{split}\end{gathered}</math></p>
<ul>
<li><p>przykład1</p></li></ul>
</li>
<li><p>'''Cauchy’ego''' - standardowy to rozkład ilorazu niezależnych zmiennych normalnych</p>
<p><math>\begin{gathered}
\phi(x) =  \frac{1}{\pi (1 + x^2)}. \! \qquad
F(x)=\frac{1}{\pi} \arctan\left(x\right)+\frac{1}{2}
\qquad
\begin{split}
\operatorname{E}[X] &= \mu \\
\operatorname{Var}[X] &= \sigma ^{2}
\end{split}\end{gathered}</math></p>
<ul>
<li><p>przykład1</p></li></ul>
</li>
<li><p>'''<math>\mathbf{\chi}</math>-kwadrat''' - suma kwadratów zmiennych o rozkładzie normalnym, czyli dla <math>X_{i}\sim N(0,1)</math>: <math>Y=\sum _{{i=1}}^{k}(X_{i})^{2} \Longleftrightarrow Y\sim \chi _{k}^{2},</math></p>
<p><math>\begin{gathered}
\phi(x) = ? \qquad
F(x;\,2) = 1 - e^{-\frac{x}{2}} \qquad
\begin{split}
\operatorname{E}[X] &= k \\
\operatorname{Var}[X] &= 2k
\end{split}\end{gathered}</math></p>
<ul>
<li><p>przykład1</p></li></ul>
</li></ul>
</li></ul>