FANDOM


  • Grupą nazywamy zbiór $ G $ zdziałaniem dwuargumentowym spełniającym następujące warunki:

    • $ \forall_{a, b, c \in G}\; (a b) c = a (b c) $ zapewniający łączność działania

    • $ \exists_{e \in G}\; \forall_{a \in G}\; e a = a e = a $, gdzie $ e $ nazywamy elementem neutralnym działania,

    • $ \forall_{a \in G}\; \exists_{b \in G}\; a b = b a = e $, gdzie $ b $ nazywamy elementem odwrotnym do elementu $ a $. Element odwrotny jest oznaczany przez $ a^{-1} $.

    Jeżeli działanie w grupie $ G $ spełnia warunek: $ \forall_{a,\; b \in G}\; a b = b a $, to grupę $ G $ nazywamy grupą przemienną bądź abelową.

  • Przekształcenie $ \varphi\colon G \to H $ nazywamy jest homomorfizmem grup wtedy i tylko wtedy, gdy: $ \forall_{x,y \in G} \varphi(x \cdot y) = \varphi(x) \cdot \varphi(y) $

    • monomorfizm różnowartościowy homomorfizm,

    • epimorfizm homomorfizm ,,na”,

    • izomorfizm homomorfizm różnowartościowy i ,,na”

    • automorfizm izomorfizm grupy $ G $ w siebie,

    • endomorfizm homomorfizm $ \varphi\colon G \to G $

  • Podgrupą grupy $ G $ nazywamy podzbiór $ H \subseteq G $, taki, że:
    $ \forall_{x,y \in H} xy \in H $, $ \quad \forall_{x \in H} x^{-1} \in H $, $ \quad e \in H $. Oznaczamy ją przez $ H \leq G $.

    • jądro - $ \mathrm{ker}\varphi := \varphi^{-1}(e) = \{g \in G : \varphi(g)=e \} $

    • centrum - $ Z(G) := \{ g \in G : \forall_{x \in G} gx=xg \} $

  • Twierdzenie Lagrange’a

    • warstwa lewostronna $ gH = \{ gh : h \in H \} $, gdzie $ H \leq G $, $ g \in G $. Warstwy grupy $ G $ względem podgrupy $ H $ są równoliczne z podgrupą $ H $.

    • zbiór wszystkich warstw względem podgrupy $ H $ oznaczamy przez $ G/H $. Moc zbioru warstw nazywamy indeksem podgrupy $ H $ w grupie $ G $ i oznaczmy przez $ [G:H] $.

    Jeśli grupa $ G $ jest skończona i $ H \leq G $, to $ |G| = |H| \cdot [G:H] $

    • W grupie skończonej rząd podgrupy jest dzielnikiem rzędu grupy

  • Działanie grupy na zbiorze - 2 definicje:

    Działaniem grupy $ G $ na zbiorze $ X $ nazywamy homomorfizm $ \psi : G \to \Sigma_X $ (gdzie $ \Sigma_X $ to grupa bijekcji zbioru $ X $). Działanie nazywamy wiernym, jeśli jest ono monomorfizmem.

    • orbita - $ G(x) = \{g(x) \colon\, g \in G\} $

    • punkt stały - taki punkt $ x $, że $ G(x) = \{x\} $

    • grupa izotropii - $ G_x = \{g \in G\colon\, g(x) = x\} $

    • działanie przechodnie - $ \forall_{x,y \in X} \exists_{g \in G} \; y = g(x) $

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.