O pojęciu grupy. Grupy przekształceń

• Grupą nazywamy zbiór $G$ zdziałaniem dwuargumentowym spełniającym następujące warunki:

  • $\forall_{a, b, c \in G}\; (a b) c = a (b c)$ zapewniający łączność działania

  • $\exists_{e \in G}\; \forall_{a \in G}\; e a = a e = a$, gdzie $e$ nazywamy elementem neutralnym działania,

  • $\forall_{a \in G}\; \exists_{b \in G}\; a b = b a = e$, gdzie $b$ nazywamy elementem odwrotnym do elementu $a$. Element odwrotny jest oznaczany przez $a^{-1}$.

  Jeżeli działanie w grupie $G$ spełnia warunek: $\forall_{a,\; b \in G}\; a b = b a$, to grupę $G$ nazywamy grupą przemienną bądź abelową.

• Przekształcenie $\varphi\colon G \to H$ nazywamy jest homomorfizmem grup wtedy i tylko wtedy, gdy: $\forall_{x,y \in G} \varphi(x \cdot y) = \varphi(x) \cdot \varphi(y)$

  • monomorfizm różnowartościowy homomorfizm,

  • epimorfizm homomorfizm ,,na”,

  • izomorfizm homomorfizm różnowartościowy i ,,na”

  • automorfizm izomorfizm grupy $G$ w siebie,

  • endomorfizm homomorfizm $\varphi\colon G \to G$

• Podgrupą grupy $G$ nazywamy podzbiór $H \subseteq G$, taki, że:
  $\forall_{x,y \in H} xy \in H$, $\quad \forall_{x \in H} x^{-1} \in H$, $\quad e \in H$. Oznaczamy ją przez $H \leq G$.

  • jądro - $\mathrm{ker}\varphi := \varphi^{-1}(e) = \{g \in G : \varphi(g)=e \}$

  • centrum - $Z(G) := \{ g \in G : \forall_{x \in G} gx=xg \}$

• Twierdzenie Lagrange’a

  • warstwa lewostronna $gH = \{ gh : h \in H \}$, gdzie $H \leq G$, $g \in G$. Warstwy grupy $G$ względem podgrupy $H$ są równoliczne z podgrupą $H$.

  • zbiór wszystkich warstw względem podgrupy $H$ oznaczamy przez $G/H$. Moc zbioru warstw nazywamy indeksem podgrupy $H$ w grupie $G$ i oznaczmy przez $[G:H]$.

  Jeśli grupa $G$ jest skończona i $H \leq G$, to $|G| = |H| \cdot [G:H]$

  • W grupie skończonej rząd podgrupy jest dzielnikiem rzędu grupy

• Działanie grupy na zbiorze - 2 definicje:

  Działaniem grupy $G$ na zbiorze $X$ nazywamy homomorfizm $\psi : G \to \Sigma_X$ (gdzie $\Sigma_X$ to grupa bijekcji zbioru $X$). Działanie nazywamy wiernym, jeśli jest ono monomorfizmem.

  • orbita - $G(x) = \{g(x) \colon\, g \in G\}$

  • punkt stały - taki punkt $x$, że $G(x) = \{x\}$

  • grupa izotropii - $G_x = \{g \in G\colon\, g(x) = x\}$

  • działanie przechodnie - $\forall_{x,y \in X} \exists_{g \in G} \; y = g(x)$