O pojęciu odległości

Niech $ X $ oznacza dowolny niepusty zbiór. Metryką (w zbiorze $ X $) nazywa się funkcję $ d\colon X\times X\to [0,+\infty ), $ która dla dowolnych elementów $ a,b,c $ tego zbioru spełnia następujące warunki:

• $ d(a,b)=0\iff a=b; $,

• $ d(a,b)=d(b,a);\, $

• $ d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b). $

Gdy $ d $ jest metryką w zbiorze $ X $, to para $ (X, d) $ nazywana jest przestrzenią metryczną.

Przykłady metryk:

• metryka kolejowa, miejska, rzeka, euklidesowa, maksimum, dyskretna

• W przestrzeni unormowanej $ X $ wzór $ d(x,y)=\|x-y\| $ dla $ x,y\in X $ indukuje metrykę na przestrzeni $ X $.

Niech $ (X,d_X) $ oraz $ (Y,d_Y) $ będą przestrzeniami metrycznymi. Funkcję $ f : X \to Y $ nazywamy izometrią, jeśli zachowuje odległości, czyli: $ \forall_{a,b \in X} \; d_{Y}\left(f(a),f(b)\right)=d_{X}(a,b). $

Opis analityczny izometrii w przestrzeni kartezjańskiej $ {{\rm I\!R}}^n $. (??)

• przesunięcie

• obrót $ R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix} $

Przykłady metryk w przestrzeniach funkcyjnych:

• przestrzenie $ L_p $ $ \|f\|_p \equiv \left({\int_S |f|^p\;\mathrm{d}\mu}\right)^{\frac{1}{p}}<\infty $

• Przestrzeń $ L_\infty $ Symbolem $ L_\infty(\mu) $ oznacza się przestrzeń funkcji prawie wszędzie ograniczonych, tj. takich zespolonych funkcji mierzalnych, że $ {{\mbox{ess sup}}}_{{x\in \Omega }}|f(x)|:=\inf\{\sup\{|f(x)|\colon \,x\in \Omega \setminus A\}\colon \,A\in {\mathcal {A}},\mu (A)=0\}<\infty , $ z normą $ \|f\|={{\mbox{ess sup}}}_{{x\in \Omega }}|f(x)|. $

• Niech $ X,Y $ będą przestrzeniami metrycznymi, a $ {\mathcal C}(X,Y) $ oznacza zbiór wszystkich funkcji ciągłych z przestrzeni $ X $ w przestrzeń $ Y $. Dla $ f,g\in {{\mathcal C}}(X,Y) $ określamy $ d(f,g)=\sup _{{x\in X}}{\Bigg (}\min {\Big (}1,\varrho _{Y}{\big (}g(x),f(x){\big )}{\Big )}{\Bigg )} $ Wówczas $ d $ jest metryką na zbiorze $ {\mathcal C}(X,Y) $ nazywaną metryką zbieżności jednostajnej.

różne rodzaje zbieżności ciągów i szeregów funkcyjnych, związki między nimi.

• zbieżność punktowa $ \displaystyle \forall x\in X\ \ \forall \varepsilon>0\ \ \exists N\in\mathbb{N}\ \ \forall n\ge N:\ \ \varrho\big(f_n(x),f(x)\big) \ <\ \varepsilon. $

• zbieżność jednostajna $ \displaystyle f_n\rightrightarrows f $, $ \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \ \exists N\in \mathbb{N}\ \ \forall n\ge N\ \ \forall x\in X:\ \ \varrho\big(f_n(x),f(x)\big) \ <\ \varepsilon. $ Granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych jest ciągła.

• zbieżność niemal jednostajna zachodzi wówczas, gdy ciąg lub szereg funkcyjny jest zbieżny punktowo do zadanej funkcji $ f $ i zbieżny do niej jednostajnie na każdym podzbiorze zwartym dziedziny.

• zbieżność szeregów

  • suma częściowa $ F_n=\displaystyle \sum_{i=0}^n f_i $

  • szereg funkcyjny to ciąg funkcyjny sum częściowych

  • Mówimy, że szereg jest zbieżny punktowo na $ \displaystyle A $ do sumy $ \displaystyle f $ jeśli $ \displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow\mathbb{R} $

  • Mówimy, że szereg $ \displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n $ jest zbieżny jednostajnie na $ \displaystyle A $ do sumy $ \displaystyle f $, jeśli $ \displaystyle F_n\rightrightarrows f $.

• Kryterium Weierstrassa $ \forall_n \exists_{M_n} \forall_x |f_n(x)| \leq M_n \wedge \sum_{n=1}^{\infty} M_n \text{ - zbieżny} \implies \sum _{{n=1}}^{\infty }f_{n}(x) \text{ - zbieżny jednostajnie} $