Niech
oznacza dowolny niepusty zbiór. Metryką (w zbiorze ) nazywa się funkcję która dla dowolnych elementów tego zbioru spełnia następujące warunki:,
Gdy
jest metryką w zbiorze , to para nazywana jest przestrzenią metryczną.Przykłady metryk:
metryka kolejowa, miejska, rzeka, euklidesowa, maksimum, dyskretna
W przestrzeni unormowanej
wzór dla indukuje metrykę na przestrzeni .
Niech
oraz będą przestrzeniami metrycznymi. Funkcję nazywamy izometrią, jeśli zachowuje odległości, czyli:Opis analityczny izometrii w przestrzeni kartezjańskiej
. (??)przesunięcie
obrót
Przykłady metryk w przestrzeniach funkcyjnych:
przestrzenie
Przestrzeń
Symbolem oznacza się przestrzeń funkcji prawie wszędzie ograniczonych, tj. takich zespolonych funkcji mierzalnych, że z normąNiech
będą przestrzeniami metrycznymi, a oznacza zbiór wszystkich funkcji ciągłych z przestrzeni w przestrzeń . Dla określamy Wówczas jest metryką na zbiorze nazywaną metryką zbieżności jednostajnej.
różne rodzaje zbieżności ciągów i szeregów funkcyjnych, związki między nimi.
zbieżność punktowa
zbieżność jednostajna
, Granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych jest ciągła.zbieżność niemal jednostajna zachodzi wówczas, gdy ciąg lub szereg funkcyjny jest zbieżny punktowo do zadanej funkcji
i zbieżny do niej jednostajnie na każdym podzbiorze zwartym dziedziny.zbieżność szeregów
suma częściowa
szereg funkcyjny to ciąg funkcyjny sum częściowych
Mówimy, że szereg jest zbieżny punktowo na
do sumy jeśliMówimy, że szereg
jest zbieżny jednostajnie na do sumy , jeśli .
Kryterium Weierstrassa
Advertisement
21
pages
O pojęciu odległości
Advertisement