Egzamin Magisterski MIMUW Wiki
Advertisement
  • Niech oznacza dowolny niepusty zbiór. Metryką (w zbiorze ) nazywa się funkcję która dla dowolnych elementów tego zbioru spełnia następujące warunki:

    • ,

    Gdy jest metryką w zbiorze , to para nazywana jest przestrzenią metryczną.

  • Przykłady metryk:

    • metryka kolejowa, miejska, rzeka, euklidesowa, maksimum, dyskretna

    • W przestrzeni unormowanej wzór dla indukuje metrykę na przestrzeni .

  • Niech oraz będą przestrzeniami metrycznymi. Funkcję nazywamy izometrią, jeśli zachowuje odległości, czyli:

  • Opis analityczny izometrii w przestrzeni kartezjańskiej . (??)

    • przesunięcie

    • obrót

  • Przykłady metryk w przestrzeniach funkcyjnych:

    • przestrzenie

    • Przestrzeń Symbolem oznacza się przestrzeń funkcji prawie wszędzie ograniczonych, tj. takich zespolonych funkcji mierzalnych, że z normą

    • Niech będą przestrzeniami metrycznymi, a oznacza zbiór wszystkich funkcji ciągłych z przestrzeni w przestrzeń . Dla określamy Wówczas jest metryką na zbiorze nazywaną metryką zbieżności jednostajnej.

  • różne rodzaje zbieżności ciągów i szeregów funkcyjnych, związki między nimi.

    • zbieżność punktowa

    • zbieżność jednostajna , Granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych jest ciągła.

    • zbieżność niemal jednostajna zachodzi wówczas, gdy ciąg lub szereg funkcyjny jest zbieżny punktowo do zadanej funkcji i zbieżny do niej jednostajnie na każdym podzbiorze zwartym dziedziny.

    • zbieżność szeregów

      • suma częściowa

      • szereg funkcyjny to ciąg funkcyjny sum częściowych

      • Mówimy, że szereg jest zbieżny punktowo na do sumy jeśli

      • Mówimy, że szereg jest zbieżny jednostajnie na do sumy , jeśli .

    • Kryterium Weierstrassa

Advertisement