O pojęciu odległości

• Niech $X$ oznacza dowolny niepusty zbiór. Metryką (w zbiorze $X$) nazywa się funkcję $d\colon X\times X\to [0,+\infty ),$ która dla dowolnych elementów $a,b,c$ tego zbioru spełnia następujące warunki:

  • $d(a,b)=0\iff a=b;$,

  • $d(a,b)=d(b,a);\,$

  • $d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b).$

  Gdy $d$ jest metryką w zbiorze $X$, to para $(X,d)$ nazywana jest przestrzenią metryczną.

• Przykłady metryk:

  • metryka kolejowa, miejska, rzeka, euklidesowa, maksimum, dyskretna

  • W przestrzeni unormowanej $X$ wzór $d(x,y)=\|x-y\|$ dla $x,y\in X$ indukuje metrykę na przestrzeni $X$.

• Niech $(X,d_{X})$ oraz $(Y,d_{Y})$ będą przestrzeniami metrycznymi. Funkcję $f:X\to Y$ nazywamy izometrią, jeśli zachowuje odległości, czyli: $\forall _{a,b\in X}\;d_{Y}\left(f(a),f(b)\right)=d_{X}(a,b).$

• Opis analityczny izometrii w przestrzeni kartezjańskiej ${\rm {I\!R}}^{n}$. (??)

  • przesunięcie

  • obrót $R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}$

• Przykłady metryk w przestrzeniach funkcyjnych:

  • przestrzenie $L_{p}$ $\|f\|_{p}\equiv \left({\int _{S}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu }\right)^{\frac {1}{p}}<\infty$

  • Przestrzeń $L_{\infty }$ Symbolem $L_{\infty }(\mu )$ oznacza się przestrzeń funkcji prawie wszędzie ograniczonych, tj. takich zespolonych funkcji mierzalnych, że ${\mbox{ess sup}}_{x\in \Omega }|f(x)|:=\inf\{\sup\{|f(x)|\colon \,x\in \Omega \setminus A\}\colon \,A\in {\mathcal {A}},\mu (A)=0\}<\infty ,$ z normą $\|f\|={\mbox{ess sup}}_{x\in \Omega }|f(x)|.$

  • Niech $X,Y$ będą przestrzeniami metrycznymi, a ${\mathcal {C}}(X,Y)$ oznacza zbiór wszystkich funkcji ciągłych z przestrzeni $X$ w przestrzeń $Y$. Dla $f,g\in {\mathcal {C}}(X,Y)$ określamy $d(f,g)=\sup _{x\in X}{\Bigg (}\min {\Big (}1,\varrho _{Y}{\big (}g(x),f(x){\big )}{\Big )}{\Bigg )}$ Wówczas $d$ jest metryką na zbiorze ${\mathcal {C}}(X,Y)$ nazywaną metryką zbieżności jednostajnej.

• różne rodzaje zbieżności ciągów i szeregów funkcyjnych, związki między nimi.

  • zbieżność punktowa $\displaystyle \forall x\in X\ \ \forall \varepsilon >0\ \ \exists N\in \mathbb {N} \ \ \forall n\geq N:\ \ \varrho {\big (}f_{n}(x),f(x){\big )}\ <\ \varepsilon .$

  • zbieżność jednostajna $\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f$, $\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \ \exists N\in \mathbb {N} \ \ \forall n\geq N\ \ \forall x\in X:\ \ \varrho {\big (}f_{n}(x),f(x){\big )}\ <\ \varepsilon .$ Granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych jest ciągła.

  • zbieżność niemal jednostajna zachodzi wówczas, gdy ciąg lub szereg funkcyjny jest zbieżny punktowo do zadanej funkcji $f$ i zbieżny do niej jednostajnie na każdym podzbiorze zwartym dziedziny.

  • zbieżność szeregów

    • suma częściowa $F_{n}=\displaystyle \sum _{i=0}^{n}f_{i}$

    • szereg funkcyjny to ciąg funkcyjny sum częściowych

    • Mówimy, że szereg jest zbieżny punktowo na $\displaystyle A$ do sumy $\displaystyle f$ jeśli $\displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow \mathbb {R}$

    • Mówimy, że szereg $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}$ jest zbieżny jednostajnie na $\displaystyle A$ do sumy $\displaystyle f$, jeśli $\displaystyle F_{n}\rightrightarrows f$.

  • Kryterium Weierstrassa $\forall _{n}\exists _{M_{n}}\forall _{x}|f_{n}(x)|\leq M_{n}\wedge \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}{\text{ - zbieżny}}\implies \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x){\text{ - zbieżny jednostajnie}}$