FANDOM


Podstawowe pojęcia Edit

  • Niech dany będzie niepusty zbiór $ X $, który dalej nazywany będzie przestrzenią. Rodzinę zbiorów $ \mathcal{T} $ zawartą w zbiorze potęgowym zbioru $ X $ nazywa się topologią na tym zbiorze, jeśli spełnia ona następujące aksjomaty:

    • $ X\in \mathcal{T} ,\varnothing \in \mathcal{T} $

    • $ U,V\in \mathcal{T} \implies U\cap V\in \mathcal{T} $

    • $ {\mathcal A}\subseteq \mathcal{T} \implies \bigcup {\mathcal A}\in \mathcal{T} $

    Wówczas parę $ (X,\mathcal{T} ) $ nazywa się przestrzenią topologiczną. Elementy rodziny $ \mathcal{T} $ nazywa się podzbiorami otwartymi, a ich dopełnienia noszą nazwę podzbiorów domkniętych.

  • Wnętrzem (ang. interior) zbioru $ A $ nazywa się zbiór największy (w sensie zawierania) zbiór otwarty zawarty w $ A $, $ \operatorname {int}\;A:=\bigcup \{U\in \mathcal{T} \colon U\subseteq A\}. $

  • Domknięcie (ang. closure) zbioru $ A $ to najmniejszy (w sensie zawierania) zbiór domknięty zawierający zbiór $ A $, $ \operatorname {cl}\;A:=\bigcap \{F\colon F\supseteq A\land F^{\operatorname c}\in \mathcal{T} \} $

  • Kula w danej przestrzeni metrycznej $ (X,\varrho ) $, jest zbiorem elementów tej przestrzeni, zdefiniowanym jako: $ {K}_{{x_0,r}}=\{ x:\varrho (x,x_0) < r\} $ dla pewnych $ x \in X,\ r>0 $, które nazywamy odpowiednio środkiem i promieniem kuli.

Spójność Edit

  • Definicje

    • Przestrzeń $ (X, \mathcal{T}) $ jest spójna jeśli nie da się jej przedstawić jako sumy dwóch rozłącznych zbiorów domkniętych (równoważnie otwartych).

    • Zbiór $ S \subset X $ jest spójny jeśli podprzestrzeń $ (S, \mathcal{T}_S) $ jest spójna.

      Zbiór $ S \in X $ jest spójny wtw. gdy: $ \forall_{A,B} S = A \cup B \left( \overline A \cap B \neq \emptyset \wedge A \cap \overline B \neq \emptyset \right) $

    • drogą z łączącą punkty $ a,b \in X $ nazywamy funkcję ciągłą $ f: [0,1] \to X $ taką, że $ f(0) = a $, $ f(1)=b $

    • Przestrzeń topologiczna $ (X, \mathcal{T}) $ jest łukowo spójna jeśli każdą parę punktów $ a,b \in X $ można połączyć drogą

    • Spójną składową w $ (X, \mathcal{T}) $ nazywamy taki zbiór $ S $, że żaden żaden zbiór w $ X $ zawierający w istotny sposób $ S $ nie jest spójny

  • Własności

    • zbiór spójnych składowych w $ (X, \mathcal{T}) $ stanowi rozbicie tej przestrzeni na zbiory rozłączne

    • każda łukowo spójna przestrzeń jest spójna

    • domknięcie zbioru spójnego jest spójne

  • Przykłady

    • spójnych

      • prosta i płaszczyzna

      • odcinek

    • niespójnych

      • suma rozłącznych przedziałów

      • dyskretna przestrzeń topologiczna

    • spójnych, ale niespójnych łukowo

      • Sinusoida zagęszczona

Zwartość Edit

  • Niech $ {\mathcal K} $ będzie niepustą rodziną zbiorów oraz $ K\in {\mathcal K}. $ Pokryciem zbioru K nazywamy każdą rodzinę $ {\mathcal A}\subseteq {\mathcal K} $ taką, że $ K\subseteq \bigcup {\mathcal A} $.

    Pokrycie składające się ze zbiorów otwartych nazywa się pokryciem otwartym.

  • Punkt $ a \in X $ jest punktem skupienia ciągu $ (a_n)_{n=1}^{\infty} $ w $ X $ jeśli każde otoczenia $ a $ zawiera nieskończenie wiele wyrazów ciągu $ a_n $.

  • Przestrzeń topologiczną nazywamy zwartą jeśli spełnia jeden z równoważnych warunków

    • z każdego pokrycia otwartego przestrzeni $ X $ można wybrać podpokrycie skończone

    • z każdego ciągu punktów w $ X $ można wybrać podciąg zbieżny w tej przestrzeni (wymaga metryzowalności przestrzeni)

  • własności:

    • [twierdzenie Weierstrassa] funkcja ciągła określona na przestrzeni zwartej, jest ograniczona i przyjmuje swoje kresy

    • każda metryczna przestrzeń zwarta jest zupełna

    • [Twierdzenie Tichonowa] Iloczyn kartezjański przestrzeni zwartych (z topologią produktową z tych przestrzeni) jest zwarty.

    • [twierdzenie Heinego-Borela] Podzbiór przestrzeni euklidesowej jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest domknięty i ograniczony

  • przykłady:

    • przestrzeni zwartych:

      • odcinek domknięty

      • przestrzeń skończona

      • sfera

    • przestrzeni niezwartych

      • nieskończona przestrzeń dyskretna

      • prosta euklidesowa

      • liczby wymierne w $ [0,1] $

zupełność Edit

  • Definicje
    • Ciąg $ (a_{i}) $ w przestrzeni metrycznej $ (X,d) $ nazywamy ciągiem Cauchy’ego jeśli: $ \forall _{{\varepsilon >0}}\;\exists _{{N\in {\mathbb N}}}\;\forall _{{m,n>N}}\;d(a_{m},a_{n})<\varepsilon . $ Definicję ciągu Cauchy’ego można wyrazić również za pomocą średnicy zbioru: jeżeli $ A_{k}=\{a_{k},a_{{k+1}},a_{{k+2}},\dots \} $, to $ (a_{i}) $ jest ciągiem Cauchy’ego, gdy $ \lim _{{k\to \infty }}\;\operatorname {diam}\;A_{k}=0. $
    • Przestrzeń metryczną $ (X,d) $ nazywamy przestrzenią zupełną, jeśli każdy ciąg Cauchy’ego jest w niej zbieżny.
  • Własności
    • Twierdzenie Banacha
    • Każda przestrzeń zwarta jest zupełna
  • Przykłady
    • zupełnych
      • prosta euklidesowa (ona nie jest zwarta)
      • przestrzeń Hilberta $ (l_2, d_h) $, czyli przestrzeń ciągów $ a=(a_n)_{n=1}^{\infty} $ sumowalnych z kwadratem (czyli $ \sum_{i=1}^{\infty}a_i^2 < \infty $) wraz z metryką: $ d_h(a,b) = \sqrt{\sum_{i=1}^{\infty}(a_i-b_i)^2} $
    • nie zupełnych
      • odcinek otwarty
      • zbiór liczb wymiernych (ciąg $ x_{n+1} = \frac {x_n}{2} + \frac{1}{x_n} $)
Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.