FANDOM


  • Definicja Mówimy, że funkcja $ \displaystyle f $ jest różniczkowalna w punkcie $ \displaystyle x_0 \in (a,b) $, jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego $ \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. $

  • własności

    • iloczyn pochodnej przez stałą,
      $ (af)'(x) = af'(x)\; $

    • pochodną sumy funkcji (addytywność)
      $ (f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)\; $

    • pochodną iloczynu funkcji (reguła Leibniza)
      $ (fg)'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)\; $

    • pochodną złożenia funkcji (reguła łańcuchowa)
      $ f'(x) = h'\bigl(g(x)\bigr) g'(x) \quad\text{ dla }\quad f(x) = h(g(x)). $

    • pochodną funkcji odwrotnej
      $ \left(f^{-1}\right)'(y) = \bigl(f'(x)\bigr)^{-1}, \quad\text{ o ile }\quad f'(x) \ne 0. $

    • pochodną odwrotności funkcji (reguła odwrotności)
      $ \left(\tfrac{1}{g(x)}\right)' = \frac{-g'(x)}{g^2(x)}, \quad\text{ o ile }\quad g(x) \ne 0 $

    • pochodną ilorazu funkcji (reguła ilorazu)
      $ \left(\tfrac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}, \quad\text{ o ile }\quad g(x) \ne 0 $

  • Pochodna jako najlepsza aproksymacja liniowa??

  • Geometryczny i mechaniczny sens pochodnej

    • geometryczny - tangens stycznej

    • fizyczny - prędkość chwilowa, chwilowe natężenie prądu

  • Zastosowania pochodnej

    • monotoniczność, wypukłość

    • ekstrema
      Jeśli funkcja $ \displaystyle f:(a,b)\mapsto\mathbb{R} $ osiąga ekstremum w punkcie $ \displaystyle x_0\in (a,b) $ i jest różniczkowalna w punkcie $ \displaystyle x_0 $, to pochodna $ \displaystyle f'(x_0)=0 $.

    • Wzór Taylora:

      $ f(x) = f(a) + \frac{x-a}{1!} f^{(1)}(a) + \frac{(x-a)^2}{2!} f^{(2)}(a) + \ldots + \frac{(x-a)^n}{n!} f^{(n)}(a) + R_n(x,a) $ $ = \sum\limits_{k=0}^n \left( \frac{(x-a)^k}{k!} f^{(k)}(a) \right) + R_n(x,a) $

    • Reguła de l’Hospitala
      Niech $ \displaystyle f,g: (a,b) \mapsto \mathbb{R} $ będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale $ \displaystyle (a,b) $, przy czym $ \displaystyle -\infty\leq a<b\leq \infty $. Załóżmy, że istnieje granica ilorazu pochodnych $ \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} $ i jest równa $ \displaystyle c\in \overline{\mathbb{R}} $. Jeśli istnieją granice funkcji $ \displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=0 \text{ oraz }\lim_{x\to a }g(x)=0 $ to istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie $ \displaystyle a $ i jest równa granicy ilorazu pochodnych w tym punkcie, tj. $ \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=c $

    • Twierdzenie Rolle’a
      Niech $ \displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb{R} $ będzie funkcją ciągłą w przedziale domkniętym $ \displaystyle [a,b] $ i różniczkowalną wewnątrz tego przedziału. Wówczas: $ \displaystyle f(a)=f(b) \Longrightarrow \exists_{\xi\in(a,b)} \; \displaystyle f'(\xi)=0 $

  • Pochodne cząstkowe i kierunkowe funkcji wielu zmiennych

    • Jeżeli istnieje skończona granica $ \lim_{h \to 0} \frac{f(a_1, \dots, a_k+h, \dots, a_n) - f(a_1, \dots, a_k, \dots, a_n)}{h} $ to nazywa się ją pochodną cząstkową funkcji $ f $ w punkcie $ \mathrm a $ względem zmiennej $ a_k $ i oznacza $ \frac{\partial f}{\partial a_k} $

    • Funkcja $ \mathrm f\colon U \to \mathbb R^m $ ma pochodną kierunkową wzdłuż wektora jednostkowego $ \mathbf u \in \mathbb R^n $ w punkcie $ \mathrm x \in U $, jeżeli istnieje i jest skończona granica $ \frac{\partial \mathrm f(\mathrm x)}{\partial \mathbf u} = \lim_{t \to 0}\frac{\mathrm f(\mathrm x + t\mathbf u) - \mathrm f(\mathrm x)}{t}, $ gdzie $ t \in \mathbb R $.

  • różniczka przekształcenia $ f:{{\rm I\!R}}^n\to{{\rm I\!R}}^m $ Jeśli chodzi o macierz Jacobiego, to jest to: $ \displaystyle \left[ \begin{array}{rrrr} \displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x_2}(a) & \dots & \displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x_n}(a)\\ \displaystyle \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(a) & \displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial x_2}(a) & \dots & \displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial x_n}(a)\\ \displaystyle \dots & \dots & \dots & \dots\\ \displaystyle \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(a) & \displaystyle\frac{\partial f_m}{\partial x_2}(a) & \dots & \displaystyle\frac{\partial f_m}{\partial x_n}(a) \end{array} \right] $

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.