Egzamin Magisterski MIMUW Wiki
Advertisement
  • Definicja Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie , jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego

  • własności

    • iloczyn pochodnej przez stałą,

    • pochodną sumy funkcji (addytywność)

    • pochodną iloczynu funkcji (reguła Leibniza)

    • pochodną złożenia funkcji (reguła łańcuchowa)

    • pochodną funkcji odwrotnej

    • pochodną odwrotności funkcji (reguła odwrotności)

    • pochodną ilorazu funkcji (reguła ilorazu)

  • Pochodna jako najlepsza aproksymacja liniowa??

  • Geometryczny i mechaniczny sens pochodnej

    • geometryczny - tangens stycznej

    • fizyczny - prędkość chwilowa, chwilowe natężenie prądu

  • Zastosowania pochodnej

    • monotoniczność, wypukłość

    • ekstrema
      Jeśli funkcja osiąga ekstremum w punkcie i jest różniczkowalna w punkcie , to pochodna .

    • Wzór Taylora:

    • Reguła de l’Hospitala
      Niech będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale , przy czym . Załóżmy, że istnieje granica ilorazu pochodnych i jest równa . Jeśli istnieją granice funkcji to istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie i jest równa granicy ilorazu pochodnych w tym punkcie, tj.

    • Twierdzenie Rolle’a
      Niech będzie funkcją ciągłą w przedziale domkniętym i różniczkowalną wewnątrz tego przedziału. Wówczas:

  • Pochodne cząstkowe i kierunkowe funkcji wielu zmiennych

    • Jeżeli istnieje skończona granica to nazywa się ją pochodną cząstkową funkcji w punkcie względem zmiennej i oznacza

    • Funkcja ma pochodną kierunkową wzdłuż wektora jednostkowego w punkcie , jeżeli istnieje i jest skończona granica gdzie .

  • różniczka przekształcenia Jeśli chodzi o macierz Jacobiego, to jest to: