FANDOM


  • rodzaje zbieżności:

    • Ciąg zmiennych losowych $ (X_{n})_{{n\in {{\mathbb N}}}} $ jest zbieżny według prawdopodobieństwa do zmiennej $ X $, jeżeli $ \bigwedge \limits _{{\varepsilon >0}}\ \lim \limits _{{n\to \infty }}P\left(\{\omega \in \Omega :|X_{{n}}(\omega )-X(\omega )|<\varepsilon \}\right)=1. $

    • Mówimy, że ciąg zmiennych losowych $ (X_{n})_{{n\in {{\mathbb N}}}} $ jest zbieżny prawie na pewno do zmiennej $ X $, jeżeli $ P\left(\{\omega \in \Omega :\lim \limits _{{n\to \infty }}X_{{n}}(\omega )=X(\omega )\}\right)=1. $

    • Ciąg zmiennych losowych $ (X_{n})_{{n\in {{\mathbb N}}}} $ jest zbieżny według rozkładu do zmiennej $ X $ jeśli $ \lim_{n\to\infty} F_n(x) = F(x), $ dla każdej liczby rzeczywistej $ x $ w której $ F(x) $ jest ciągła. Przy czym $ F_n(x) $ jest dystrybuantą $ X_n $, a $ F(x) $ jest dystrybuantą $ X $.

  • Mocne Prawo Wielkich Liczb Kołmogorowa Załóżmy, że $ X_1 $, $ X_2 $, $ \ldots $ jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie.

    • Jeśli $ X_n\in L^1 $ i $ m=\ E X_1 $, to $ \frac{X_1+X_2+\ldots+X_n}{n} \to m \quad \mbox{p.n.} $

    • Jeśli $ X_n\notin L^1 $, to

      $ \mathbb P\left(\limsup_{n\to \infty}\left|\frac{X_1+X_2+\ldots+X_n}{n}\right|=\infty\right)=1. $

  • Słabe Prawo Wielkich Liczb
    Załóżmy, że $ X_1 $, $ X_2 $, $ \ldots $ są zmiennymi losowymi całkowalnymi z kwadratem. Jeśli zmienne te są nieskorelowane oraz mają wspólnie ograniczoną wariancję, to $ \frac{X_1+X_2+\ldots+X_n- (X_1+X_2+\ldots+X_n)}{n} \to 0 $ według prawdopodobieństwa. W szczególności, jeśli zmienne $ X_i $ posiadają tę samą wartość oczekiwaną, to

    $ \frac{X_1+X_2+\ldots+X_n}{n}\xrightarrow{\mathbb{P}} \mathbb{E} X_1. $

  • interpretacja wartości oczekiwanej i prawdopodobieństwa ???

  • przykłady zastosowań

    • ciąg bernouliego - ??

    • metoda Monte Carlo - przy jej pomocy można obliczyć chociażby wartość całki. Niech $ (X_i)_{i=1}^n $ będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym na $ [a,b] $. Niech $ f $ będzie funkcją rzeczywistą, taką że $ \mathbb E f(X_1) < \infty $. Wówczas ponieważ $ \mathbb E f(X_1) = \frac{1}{b -a} \int_{a}^{b} f(x)dx $, to: $ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f(X_k) \xrightarrow{p.n.} \mathbb E f(X_1) = \frac{1}{b -a} \int_{a}^{b} f(x)dx $ Zatem losując $ n $ wartości z przedziału $ [a,b] $ możemy przybliżyć całkę.

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.