Egzamin Magisterski MIMUW Wiki
Advertisement
  • przestrzeń liniowa nad ciałem jest strukturą matematyczną , w której:

    • jest grupą abelową,

    • jest ciałem,

    wyposażoną w działanie (wyżej nieoznaczane) spełniające aksjomaty:

    • Mnożenie przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorów: Dla każdego oraz jest .

    • Mnożenie przez wektor jest rozdzielne względem dodawania skalarów: Dla każdych oraz zachodzi .

    • Mnożenie przez skalar jest zgodne z mnożeniem skalarów: Dla dowolnych oraz jest .

    • Mnożenie przez skalar ma element neutralny: Dla dowolnego jest , gdzie oznacza element neutralny mnożenia w .+

  • Zbiór wektorów nazywamy liniowo niezależnym jeśli żaden wektor należący do tego zbioru nie może być przedstawiony jako liniowa kombinacja skończenie wielu wektorów z tego zbioru.

  • baza przestrzeni liniowej - maksymalny ze względu na zawieranie liniowo niezależny podzbiór tej przestrzeni.

    • warunek równoważny: każdy niezerowy element przestrzeni może zostać zapisany jako kombinacja liniowa wektorów z bazy

  • Funkcję nazywa się przekształceniem liniowym, jeżeli jest

    • addytywna (zachowuje dodawanie wektorów):

    • jednorodna (zachowuje mnożenie przez skalar):

    Powyższe łączy się często w jeden, równoważny z nimi warunek liniowości:
    .
    Przekształcenie liniowe jest homomorfizmem przestrzeni liniowych.

  • Ponieważ każdy wektor można przedstawić jako kombinację liniową wektorów z bazy, to przekształcenie liniowe wystarczy zdefiniować na wektorach z bazy. Dla przestrzeni skończenie wymiarowych można to zrobić w postaci macierzowej:
    Niech będą bazami odpowiednio przestrzeni i nad ciałem .
    Macierzą przekształcenia w bazach nazywa się taką macierz typu o współczynnikach z , że: dla każdego zachodzi: tzn. w -tej kolumnie macierzy stoją współrzędne wektora w bazie

  • Niech będzie endomorfizmem , tzn. przekształceniem liniowym w siebie. Jeśli dla pewnego niezerowego wektora przestrzeni spełniony jest warunek: gdzie jest pewnym skalarem, to nazywa się wektorem własnym, a nazywa się wartością własną przekształcenia

    Danej wartości własnej operatora odpowiada zbiór: nazywany podprzestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej

    • wartości własne są pierwiastkami jej wielomianu charakterystycznego gdzie jest macierzą jednostkową.

      Mając do dyspozycji wartości własne można obliczyć odpowiadające im wektory własne rozwiązując równania postaci ze względu na wektory

  • Macierzą Jordana macierzy nazywamy macierz klatkową postaci:

    w której każdy blok (zwany klatką Jordana) jest macierzą kwadratową postaci gdzie są wartościami własnymi macierzy.

    • Macierze i nazywamy podobnymi, jeśli istnieje macierz nieosobliwa t. że:

    • Rozkład Jordana to przedstawienie macierzy w postaci iloczynu trzech macierzy , gdzie jest macierzą Jordana, a pewną macierzą nieosobliwą, której niektórymi kolumnami sa wektory własne macierzy

Advertisement