FANDOM


  • przestrzeń liniowa nad ciałem $ K $ jest strukturą matematyczną $ (V, K, +, \cdot, \boldsymbol +, \boldsymbol \cdot) $, w której:

    • $ (V, \boldsymbol +) $ jest grupą abelową,

    • $ (K, +, \cdot) $ jest ciałem,

    wyposażoną w działanie $ \boldsymbol \cdot \colon K \times V \to V $ (wyżej nieoznaczane) spełniające aksjomaty:

    • Mnożenie przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorów: Dla każdego $ a \in K $ oraz $ \mathbf v, \mathbf w \in V $ jest $ a(\mathbf v \boldsymbol + \mathbf w) = a\mathbf v \boldsymbol + a\mathbf w $.

    • Mnożenie przez wektor jest rozdzielne względem dodawania skalarów: Dla każdych $ a, b \in K $ oraz $ \mathbf v \in V $ zachodzi $ (a + b)\mathbf v = a\mathbf v \boldsymbol + b\mathbf v $.

    • Mnożenie przez skalar jest zgodne z mnożeniem skalarów: Dla dowolnych $ a, b \in K $ oraz $ \mathbf v \in V $ jest $ a(b\mathbf v) = (a \cdot b)\mathbf v $.

    • Mnożenie przez skalar ma element neutralny: Dla dowolnego $ \mathbf v \in V $ jest $ 1\mathbf v = \mathbf v $, gdzie $ 1 $ oznacza element neutralny mnożenia w $ K $.+

  • Zbiór wektorów nazywamy liniowo niezależnym jeśli żaden wektor należący do tego zbioru nie może być przedstawiony jako liniowa kombinacja skończenie wielu wektorów z tego zbioru.

  • baza przestrzeni liniowej $ V $ - maksymalny ze względu na zawieranie liniowo niezależny podzbiór tej przestrzeni.

    • warunek równoważny: każdy niezerowy element przestrzeni $ V $ może zostać zapisany jako kombinacja liniowa wektorów z bazy

  • Funkcję $ \scriptstyle \mathrm A\colon U \to V $ nazywa się przekształceniem liniowym, jeżeli jest

    • addytywna (zachowuje dodawanie wektorów):
      $ \mathrm A(\mathbf x + \mathbf y) = \mathrm A(\mathbf x) + \mathrm A(\mathbf y), $

    • jednorodna (zachowuje mnożenie przez skalar):
      $ \mathrm A(c\mathbf x) = c\mathrm A(\mathbf x). $

    Powyższe łączy się często w jeden, równoważny z nimi warunek liniowości:
    $ \mathrm A(c\mathbf x + d\mathbf y) = c\mathrm A(\mathbf x) + d\mathrm A(\mathbf y) $.
    Przekształcenie liniowe jest homomorfizmem przestrzeni liniowych.

  • Ponieważ każdy wektor można przedstawić jako kombinację liniową wektorów z bazy, to przekształcenie liniowe wystarczy zdefiniować na wektorach z bazy. Dla przestrzeni skończenie wymiarowych można to zrobić w postaci macierzowej:
    Niech $ A = (a_1, \dots, a_n), B = ( b_1, \dots, b_m) $ będą bazami odpowiednio przestrzeni $ U $ i $ V $ nad ciałem $ K $.
    Macierzą przekształcenia $ \mathrm T : U \to V $ w bazach $ A, B $ nazywa się taką macierz $ \mathbf T_A^B = [t_{ij}] $ typu $ m \times n $ o współczynnikach z $ K $, że: dla każdego $ j = 1, \dots, n $ zachodzi: $ \mathrm T(\mathbf a_j) = \sum_{i = 1}^m t_{ij} \mathbf b_i, $ tzn. w $ j $-tej kolumnie macierzy $ \mathbf T_A^B $ stoją współrzędne wektora $ \mathrm T(\mathbf a_j) $ w bazie $ B. $

  • Niech $ \mathrm T $ będzie endomorfizmem $ V $, tzn. przekształceniem liniowym $ V $ w siebie. Jeśli dla pewnego niezerowego wektora $ v $ przestrzeni spełniony jest warunek: $ \mathrm Tv = \lambda v, $ gdzie $ \lambda $ jest pewnym skalarem, to $ v $ nazywa się wektorem własnym, a $ \lambda $ nazywa się wartością własną przekształcenia $ \mathrm T. $

    Danej wartości własnej $ \lambda $ operatora $ \mathrm T $ odpowiada zbiór: $ X_\lambda(T) = \{x\in X\colon Tx = \lambda x\} $ nazywany podprzestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej $ \lambda, $

    • wartości własne są pierwiastkami jej wielomianu charakterystycznego $ w_\mathbf A(\lambda) = \det(\mathbf A - \lambda \mathbf I) $ gdzie $ \mathbf I $ jest macierzą jednostkową.

      Mając do dyspozycji wartości własne $ \lambda_1, \dots, \lambda_n $ można obliczyć odpowiadające im wektory własne $ \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_n $ rozwiązując równania postaci $ (\mathbf A - \lambda_i \mathbf I) \cdot \mathbf x_i = 0 $ ze względu na wektory $ \mathbf x_i. $

  • Macierzą Jordana macierzy $ A $ nazywamy macierz klatkową postaci:

    $ J = \begin{bmatrix} J_1 & \; & \; \\ \; & \ddots & \; \\ \; & \; & J_p\end{bmatrix} $ w której każdy blok $ J_i $ (zwany klatką Jordana) jest macierzą kwadratową postaci $ J_i = \begin{bmatrix} \lambda_i & 1 & \; & \; \\ \; & \lambda_i & \ddots & \; \\ \; & \; & \ddots & 1 \\ \; & \; & \; & \lambda_i \end{bmatrix} $ gdzie $ \lambda_i $ są wartościami własnymi macierzy.

    • Macierze $ A $ i $ B $ nazywamy podobnymi, jeśli istnieje macierz nieosobliwa $ P $ t. że: $ B=P^{-1}AP $

    • Rozkład Jordana to przedstawienie macierzy $ A $ w postaci iloczynu trzech macierzy $ A= P J P^{-1} $, gdzie $ J $ jest macierzą Jordana, a $ P $ pewną macierzą nieosobliwą, której niektórymi kolumnami sa wektory własne macierzy $ A $

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.