FANDOM


  • Aksjomat wyboru
  • Częściowy porządek $ \left(\mathrm X,\leq\right) $ - relacja zwrotna, przechodnia i antysymetryczna
  • Elementy wyróżnione:
    • maksymalny element $ a $ t. że $ \forall_{x \in \mathrm X} a \leq x \Rightarrow a = x $
    • minimalny element $ a $ t. że $ \forall_{x \in \mathrm X} x \leq a \Rightarrow a = x $
    • największy element $ a $ t. że $ \forall_{x \in \mathrm X} x \leq a $
    • najmniejszy element $ a $ t. że $ \forall_{x \in \mathrm X} a \leq x $
  • Specjalne typy porządków:
    • Porządek liniowy - porządek częściowy spełniający warunek: $ \forall_{a,b \in \mathrm X} \left(a \leq b \; \vee \; b \leq a \right) $
    • Dobry porządek - porządek liniowy, którego każdy niepusty podzbiór posiada element najmniejszy: $ \forall_{A \subseteq X} \exists_{a \in A} \forall_{x \in A} \; a \leq A $
    • Porządek gęsty - porządek częściowy spełniający warunek: $ (\forall a,b\in A)(a<b\ \Rightarrow\ (\exists c\in A)(a<c<b)) $
    • Krata zupełna - porządek częściowy, w którym każdy podzbiór ma kres górny (krata - tylko dwuelementowe podzbiory muszą mieć kresy)
  • ograniczeniem górnym zbioru $ A \subseteq X $ nazywamy taki element $ b \in X $, że $ \forall_{a \in A} \; a \leq b $. Oznaczamy to przez $ b \geq A $.
  • kresem zbioru $ A \subseteq X $ nazywamy najmniejsze jego ograniczenie górne, czyli:
    • $ b \geq A $,
    • $ \forall_{c \in X} \left( c \geq A \Rightarrow c \geq b \right) $
  • Lemat Kuratowskiego-Zorna
    • łańcuchem w porządku częściowym $ \left(\mathrm X,\leq\right) $ nazywamy taki jego podzbiór $ A $, który jest porządkiem liniowym
    • Lemat Kuratowskiego-Zorna:
      Jeśli w zbiorze częściowo uporządkowanym każdy łańcuch ma ograniczenie górne, to istnieje w nim element maksymalny.

Przykłady Edit

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.