FANDOM


Relacje równoważności i zasada abstrakcji Edit

  • Niech $ X $ będzie dowolnym zbiorem. Relację $ R \subseteq X \times X $ nazywamy relacją równoważności wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona:
    • zwrotna, tzn. dla wszystkich $ x\in X $ zachodzi $ x\ R\ x $
    • symetryczna, tzn. dla dowolnych $ x, y\in X $ $ x\ R\ y \Rightarrow y\ R\ x $
    • przechodnia, tzn. dla wszystkich $ x, y, z\in X $ zachodzi wynikanie $ x\ R\ y \text{ oraz } y\ R\ z \Rightarrow x\ R\ z $.
  • Klasą abstrakcji elementu $ x $ nazywa się zbiór $ [x]_\sim = \{y \in X\colon y \sim x\} $ Każdy element $ x \in X $ należy do dokładnie jednej klasy abstrakcji równej $ [x] $. Innymi słowy: $ a \sim b \Leftrightarrow [a]=[b] $
  • Zbiór wszystkich klas abstrakcji oznaczany $ X/_\sim\; $, nazywa się przestrzenią ilorazową lub krótko ilorazem (zbioru) $ X $ przez (relację) $ \sim\; $
  • Przekształcenie $ X \to X/_\sim\; $ dane wzorem $ x \mapsto [x]\; $ (każdemu elementowi przypisana jest jego klasa abstrakcji) nazywa się odwzorowaniem ilorazowym lub rzutowaniem
  • Zasada abstrakcji mówi, że dowolnemu podziałowi zbioru na rozłączne podzbiory odpowiada pewna relacja równoważności, a każda relacja równoważności ustanawia pewien podział zbioru.

Przykłady Edit

  • liczby całkowite - zbiór klas abstrakcji relacji równoważności: $ R \subset \mathbb{N} \times \mathbb{N} $ t. że: $ (a,\; b) \sim (c,\; d) \iff a+d = b+c $ Intuicyjnie $ (a,\; b) $ reprezentuje różnicę $ a-b $.

    Wówczas dodawanie i mnożenie definiuje się jako:

    $ [(a,\; b)] + [(c,\; d)] = [(a+c,\; b+d)] $
    $ [(a,\; b)] \cdot [(c,\; d)] = [(ac+bd,\; ad+bc)] $

  • liczby wymierne - zbiór klas abstrakcji relacji równoważności $ R \subset \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $ t. że: $ (a,\; b) \sim (c,\; d) \iff ad = bc $ Intuicyjnie $ (a,\; b) $ reprezentuje iloraz $ \frac{a}{b} $.

    Wówczas dodawanie i mnożenie definiuje się jako:

    $ [(a,\; b)] + [(c,\; d)] = [(ad+bc,\; bd)], $
    $ [(a,\; b)] \cdot [(c,\; d)] = [(ac,\; bd)] $

  • grupa ilorazowa

  • topologia ilorazowa

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.