Egzamin Magisterski MIMUW Wiki
Advertisement

Relacje równoważności i zasada abstrakcji[]

  • Niech będzie dowolnym zbiorem. Relację nazywamy relacją równoważności wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona:
    • zwrotna, tzn. dla wszystkich zachodzi
    • symetryczna, tzn. dla dowolnych
    • przechodnia, tzn. dla wszystkich zachodzi wynikanie .
  • Klasą abstrakcji elementu nazywa się zbiór Każdy element należy do dokładnie jednej klasy abstrakcji równej . Innymi słowy:
  • Zbiór wszystkich klas abstrakcji oznaczany , nazywa się przestrzenią ilorazową lub krótko ilorazem (zbioru) przez (relację)
  • Przekształcenie dane wzorem (każdemu elementowi przypisana jest jego klasa abstrakcji) nazywa się odwzorowaniem ilorazowym lub rzutowaniem
  • Zasada abstrakcji mówi, że dowolnemu podziałowi zbioru na rozłączne podzbiory odpowiada pewna relacja równoważności, a każda relacja równoważności ustanawia pewien podział zbioru.

Przykłady[]

  • liczby całkowite - zbiór klas abstrakcji relacji równoważności: t. że: Intuicyjnie reprezentuje różnicę .

    Wówczas dodawanie i mnożenie definiuje się jako:


  • liczby wymierne - zbiór klas abstrakcji relacji równoważności t. że: Intuicyjnie reprezentuje iloraz .

    Wówczas dodawanie i mnożenie definiuje się jako:


  • grupa ilorazowa

  • topologia ilorazowa

Advertisement