FANDOM


  • Układem równań liniowych nazywamy układ równań w postaci $ \begin{matrix} a_{11} x_1 & + & a_{12} x_2 & + & \dots & + & a_{1n} x_n & = b_1, \\ a_{21} x_1 & + & a_{22} x_2 & + & \dots & + & a_{2n} x_n & = b_2, \\ \vdots & & \vdots & & \ddots & & \vdots & \vdots \\ a_{m1} x_1 & + & a_{m2} x_2 & + & \dots & + & a_{mn} x_n & = b_m. \end{matrix} $ co można też zapisać w postaci macierzowej $ \mathbf Ax=b $. Układ ten nazywamy jednorodnym, gdy $ b=0 $ lub niejednorodnym, gdy $ b \neq 0 $.

  • Twierdzenie Kroneckera-Capelliego Układ równań liniowych posiada rozwiązanie wtw gdy $ rz(\mathbf A)=rz(\mathbf U) $, gdzie $ \mathbf U=[\mathbf A|b] $ jest macierzą uzupełnioną.
    Jeśli $ rz(A)=n $ jest równy ilości zmiennych, to układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie, w p.p. układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

  • Wzory Crammera $ x_j = \frac{\det \mathbf A^{(j)}_\mathbf B}{\det \mathbf A}, $ gdzie $ \mathbf A^{(j)}_\mathbf B $ oznacza macierz powstałą z $ \mathbf A $ poprzez zamianę elementów $ j $-tej kolumny elementami wektora wyrazów wolnych $ \mathbf B, $ o ile tylko $ \det \mathbf A $ nie jest równy zeru.

  • Operacje elementarne

    • dodanie do dowolnego wiersza innego wiersza pomnożonego przez liczbę

    • zamiana miejscami dwóch wierszy

    • pomnożenie dowolnego wiersza przez liczbę różną od zera

  • Metoda eliminacji Gaussa polega na sprowadzeniu macierzy do postaci schodkowej przy pomocy operacji elementarnych. Na tej podstawie można rozstrzygnąć istnienie rozwiązań przy pomocy tw. Kroneckera-Capelliego oraz po kolei wyznaczyć wszystkie wartości.

    W każdym kolejnym kroku algorytmu zajmujemy się kolejnym wierszem. Dzielimy go przez wartość pierwszego niezerowego elementu w tym wierszu, a następnie odejmujemy ten wiersz od wszystkich kolejnych wierszy (przemnożony przez odpowiednią wartość), tak aby kolejne wiersze miały w danej kolumnie $ 0 $.

    Aby zmniejszyć błędy numeryczne przed rozpoczęciem każdego kroku należy wybrać element główny, czyli taki, który jest największy co do modułu w danej kolumnie i zamienić go z aktualnym wierszem.

  • Przykłady problemów

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.