FANDOM


  • równoliczność zbiory nazywamy równolicznymi, gdy istnieje bijekcja (czyli funkcja różnowartościowa i ,,na”) pomiędzy tymi zbiorami.

  • aksjomat nieskończoności $ \exists x\; (\emptyset \in x \land (\forall y\; y\in x \Longrightarrow y \cup \{y\}\in x )) $ Każdy zbiór spełniający ten warunek nazywamy zbiorem induktywnym

  • zbiór liczb naturalnych to najmniejszy zbiór induktywny. Konstrukcja von Neumanna kolejnych liczb naturalnych:

    $ 0=\emptyset $
    $ 1=\{\emptyset\}=\{0\} $
    $ 2=\{\emptyset,\{\emptyset\}\} = \{ 0,1 \} $
    $ 3=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\} = \{0,1,2\} $

  • zbiór przeliczalny - zbiór skończony (czyli równoliczny z pewną liczbą naturalną) lub przeliczalny (czyli równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych)

  • moc zbioru, liczby kardynalne

    • liczba kardynalna - pewien zbiór wzorcowy, z którym dany zbiór jest równoliczny

    • mówimy, że $ |A| \leq |B| $ jeśli istnieje injekcja z $ A $ w $ B $. Jeśli dodatkowo zbiory te nie są równoliczne , to mówimy, że $ |A| < |B| $.

    • niech $ \mathfrak{m}, \mathfrak{n} $ będą liczbami kardynalnymi, wówczas:

      • $ \mathfrak{m} + \mathfrak{n} $ jest to moc zbioru $ A \cup B $, dla dowolnych $ A,B $, t. że $ |A|=\mathfrak{m}, \; |B|=\mathfrak{n}, \; A \cap B = \emptyset $,

      • $ \mathfrak{m} \cdot \mathfrak{n} $ to moc zbioru $ A \times B $, gdzie $ |A|=\mathfrak{m}, \; |B|=\mathfrak{n} $

      • $ \mathfrak{m}^\mathfrak{n} $ to moc zbioru $ A^B $, gdzie $ |A|=\mathfrak{m}, \; |B|=\mathfrak{n} $

  • twierdzenie Cantora-Bernsteina $ |A| \leq |B| \text{ oraz } |B| \leq |A| \text{ to } |B|=|A| $

  • nierówność $ 2^\mathfrak{m} > \mathfrak{m} $ (twierdzenie Cantora) - stosujemy metodę przekątniową:
    Przypuśćmy nie wprost, że istnieje surjekcja $ \mathrm F: A \rightarrow \mathrm{P}(A) $. Zdefiniujmy $ B = \{ x \in A | x \notin \mathrm F(x) \} $. Ponieważ $ \mathrm F $ jest ,,na”, to $ \exists_{b \in A} \mathrm F(b)=B $, co jest niemożliwe.

Przykłady Edit

  • zbiory o określonych mocach:
  • działania na liczbach kardynalnych:
Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.