FANDOM


  • Rozkład normalny. $ \phi _{{\mu ,\sigma }}(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,\exp \left({\frac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right) $

    • Jeśli $ X\sim \mathcal N(\mu ,\sigma ^{2}) $, oraz $ a,b $ są liczbami rzeczywistymi, to $ aX+b\sim \mathcal N(a\mu +b,(a\sigma )^{2}) $.

    • Jeśli $ X_{1}\sim \mathcal N(\mu _{1},\sigma _{1}^{2}) $ i $ X_{2}\sim \mathcal N(\mu _{2},\sigma _{2}^{2}) $, oraz zmienne $ X_{1},X_{2} $, są niezależne, to $ X_{1}+X_{2}\sim \mathcal N(\mu _{1}+\mu _{2},\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}) $.

    • Jeśli $ X_{1},\dots ,X_{n} $ są niezależnymi zmiennymi losowymi o standardowym rozkładzie normalnym, to zmienna $ X_{1}^{2}+\cdots +X_{n}^{2} $ ma rozkład chi-kwadrat z $ n $ stopniami swobody.

    • Jeśli $ X\sim \mathcal N(\mu ,\sigma ^{2}) $, to $ Z={\frac {X-\mu }{\sigma }} $ jest zmienną losową o standardowym rozkładzie normalnym $ \mathcal N (0,1) $

  • Twierdzenie graniczne Poissona
    Niech $ B_{n} $ będzie ciągiem zmiennych losowych o rozkładach dwumianowych $ B(n,p_{n}) $. Wówczas jeżeli $ \lim \limits _{{n\to \infty }}np_{n}=\lambda $, to zachodzi $ \lim \limits _{{n\to \infty }}{\mathbb P}(B_{n}=k)=e^{{-\lambda }}{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}, $ lub równoważnie $ B_{n}{\stackrel {D}{\longrightarrow }}X,X\sim Poiss(\lambda ) $

  • Twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a. Niech $ S_n $ oznacza liczbę sukcesów w $ n $ próbach Bernoulliego z prawdopodobieństwem $ p $. Wtedy: $ \forall_{x \in \mathbb R}P \left( \frac{S_n - \mathbb E S_n}{\sqrt{\mathbb D^2 S_n}} < x \right) \xrightarrow{n \to \infty} \Phi (x) $ gdzie $ \Phi(x) $ jest dystrybuantą rozkładu normalnego.

    Błąd w twierdzeniu Poissona można oszacować poprzez: $ \sup_{x \in \mathbb{R}} \left|P \left( \frac{S_n - \mathbb E S_n}{\sqrt{\mathbb D^2 S_n}} < x \right) - \Phi (x)\right| \leq C \frac{p^2 + (1-p)^2}{\sqrt{\mathbb D^2 S_n}} $ Zatem dla dużych $ n $ liczba sukcesów ma asymptotycznie rozkład $ \mathcal N \left(np, \sqrt{np(1-p)}\right) $.

  • Przykład zastosowania: Prawdopodobieństwo urodzenia chłopca wynosi $ 0,517 $. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wśród $ n=10000 $ noworodków liczba chłopców nie przewyższy liczby dziewcząt?

    Trzeba skorzystać z tablic rozkładu normalnego

  • Centralne Twierdzenie Graniczne:
    Jeśli $ X_{i} $ są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie, takiej samej wartości oczekiwanej $ \mu $ i skończonej wariancji $ \sigma ^{2} $, to zmienna losowa o postaci $ {\frac {\sum _{{i=1}}^{n}X_{i}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}} $ zbiega według rozkładu do standardowego rozkładu normalnego gdy $ n $ rośnie do nieskończoności

  • Ew.: twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy’ego:
    Niech $ (X_{{n,k}}) $ będzie schematem serii, w którym $ EX_{{n,k}}=0 $ dla $ k\leq n $ i dla każdego $ n $ mamy $ \sum _{{k=1}}^{n}D^{2}X_{{n,k}}=1 $. Jeśli spełniony jest warunek Lindeberga, tj. dla każdego $ \epsilon >0 $ zachodzi: $ \lim _{{n\to \infty }}\sum _{{k=1}}^{n}EX_{{n,k}}^{2}{\mathbf 1}_{{\{|X_{{n,k}}|>\epsilon \}}}=0 $ wtedy $ \sum _{{k=1}}^{n}X_{{n,k}}{\xrightarrow {D}} \mathcal N(0,1). $

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.