Egzamin Magisterski MIMUW Wiki
Advertisement
  • Definicje
    • Niech będzie zbiorem oraz funkcją zbioru w siebie. Punkt nazywamy punktem stałym funkcji , jeśli .
    • Odwzorowanie zwężające to przekształcenie z przestrzeni metrycznej w przestrzeń metryczną , dla którego istnieje stała rzeczywista taka, że dla dowolnych zachodzi nierówność
    • Niech będzie przestrzenią topologiczną oraz . Funkcja ciągła nazywana jest retrakcją, jeżeli tzn. zachodzi równosć dla wszystkich elementów przestrzeni .
  • Twierdzenie Banacha o odwzorowaniach zwężających Jeśli jest przestrzenią metryczną zupełną, zaś jest kontrakcją, to: odwzorowanie f ma dokładnie jeden punkt stały oraz dla dowolnego ciąg jest zbieżny do .
  • zastosowania twierdzenia Banacha
    • rozwikływanie funkcji
    • rozwiązywanie równań różniczkowych
  • Twierdzenie Brouwera Niech będzie wypukłym zbiorem zwartym. Wówczas funkcja ciągła posiada punkt stały.
  • nieistnienie retrakcji kuli do brzegu.
    Nie istnieje retrakcja kuli domkniętej do jej brzegu. Jest to równoważne z twierdzeniem Brouwera
  • Związek z własnością Darboux.
    Twierdzenie Brouwera dla można udowodnić z własności Darboux rozważając
Advertisement