FANDOM


  • Definicje
    • Niech $ X $ będzie zbiorem oraz $ f\colon X\to X $ funkcją zbioru $ X $ w siebie. Punkt $ x\in X $ nazywamy punktem stałym funkcji $ f $, jeśli $ f(x)=x $.
    • Odwzorowanie zwężające to przekształcenie $ f $ z przestrzeni metrycznej $ (X,\varrho _{X}) $ w przestrzeń metryczną $ (Y,\varrho _{Y}) $, dla którego istnieje stała rzeczywista $ \alpha \in (0,1) $ taka, że dla dowolnych $ x_{1},x_{2}\in X $ zachodzi nierówność $ {\varrho _{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))}\leq \alpha {\varrho _{X}(x_{1},x_{2})}. $
    • Niech $ X $ będzie przestrzenią topologiczną oraz $ A\subseteq X $. Funkcja ciągła $ f\colon X\to A $ nazywana jest retrakcją, jeżeli $ f|_{A}=\operatorname {id}_{A}, $ tzn. zachodzi równosć $ f(a)=a\; $ dla wszystkich elementów $ a\; $ przestrzeni $ A\; $.
  • Twierdzenie Banacha o odwzorowaniach zwężających Jeśli $ (X,\varrho) $ jest przestrzenią metryczną zupełną, zaś $ f\colon X\to X $ jest kontrakcją, to: odwzorowanie f ma dokładnie jeden punkt stały $ x_{0} $ oraz dla dowolnego $ x\in X $ ciąg $ (x,f(x),f(f(x)),\dots ) $ jest zbieżny do $ x_{0} $.
  • zastosowania twierdzenia Banacha
    • rozwikływanie funkcji
    • rozwiązywanie równań różniczkowych
  • Twierdzenie Brouwera Niech $ X $ będzie wypukłym zbiorem zwartym. Wówczas funkcja ciągła $ f: X \to X $ posiada punkt stały.
  • nieistnienie retrakcji kuli do brzegu.
    Nie istnieje retrakcja kuli domkniętej do jej brzegu. Jest to równoważne z twierdzeniem Brouwera
  • Związek z własnością Darboux.
    Twierdzenie Brouwera dla $ n=1 $ można udowodnić z własności Darboux rozważając $ g(x) = f(x) - x $
Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.