FANDOM


  • Twierdzenie Lagrange’a
    Jeśli dana funkcja $ f:{\mathbb R}\to {\mathbb R} $ jest ciągła w przedziale $ [a,b] $ oraz różniczkowalna w przedziale $ (a,b) $, to istnieje taki punkt $ c\in (a,b) $, że: $ {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c). $

  • Twierdzenie Cauchy’ego
    Jeśli dane funkcje $ f,g:{\mathbb R}\to {\mathbb R} $ są ciągłe w przedziale $ [a,b] $ oraz różniczkowalne w przedziale $ (a,b) $, to istnieje taki punkt $ c\in (a,b) $, że: $ \frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} $

  • interpretacja geometryczna jeśli poprowadzimy prostą przez dwa punkty leżące na wykresie funkcji $ f $, to styczna do wykresu $ f $ w pewnym punkcie leżącym pomiędzy wybranymi punktami jest równoległa do prostej przez te punkty

  • Twierdzenie Lagrange’a dla funkcji wielu zmiennych:
    Niech $ G $ będzie otwartym podzbiorem $ \mathbb{R}^n $, a $ f : G \to \mathbb R $ funkcją różniczkowalną. Dla ustalonych punktów $ x,y \in G $, takich że $ (x,y) \subset G $ definiujemy $ g(t)=f((1-t)x + ty) $. Z twierdzenia dla jednej zmiennej mamy: $ g(1) - g(0) = g'(c) $ dla pewnego $ c \in (0,1) $. Zatem: $ f(y) - f(x) = \nabla f ((1- c)x + cy) \cdot (y - x) $ oraz $ |f(y) - f(x)| \le |\nabla f ((1- c)x + cy)| \, |y - x|. $

  • Twierdzenia o wartości średniej dla całek

    • Pierwsze Twierdzenie
      Jeżeli funkcja $ f $ jest ograniczona: $ m\leq f(x)\leq M $, i całkowalna, to istnieje taka liczba $ m\leq \mu \leq M $, że: $ \int \limits _{a}^{b}f(x)\ dx=\mu (b-a). $ W przypadku gdy funkcja $ f $ jest ciągła, tezę twierdzenia można wzmocnić następująco: istnieje punkt $ c\in [a,\ b] $ taki, że $ \int \limits _{a}^{b}f(x)\ dx=f(c)(b-a). $

    • Uogólnienie pierwszego twierdzenia
      Jeżeli funkcje $ f,g $ są całkowalne, $ f $ jest ograniczona: $ m\leq f(x)\leq M $, a $ g $ zachowuje znak w tym przedziale, to $ \int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\ dx=\mu \int \limits _{a}^{b}~g(x)\ dx. $ Jak poprzednio, w sytuacji, gdy $ f $ jest funkcją ciągłą, w tezie twierdzenia można postulować istnienie takiego punktu $ c\in [a,\ b] $, że: $ \int \limits _{a}^{b}~f(x)g(x)\ dx=f(c)\int \limits _{a}^{b}~g(x)\ dx. $

    • Drugie twierdzenie
      Jeżeli funkcja $ f $ jest monotonicznie malejąca i nieujemna, a $ g $ całkowalna, to istnieje taki punkt $ c\in [a,\ b] $, że: $ \int \limits _{a}^{b}~f(x)g(x)\ dx=f(a)\int \limits _{a}^{c}~g(x)\ dx+f(b)\int \limits _{c}^{b}~g(x)\ dx. $

  • Twierdzenie Lebesgue’a o różniczkowaniu całki.

    • Jeżeli funkcja $ f $ jest całkowalna w sensie Lebesgue’a na przedziale $ [a,b] $, to jej pierwotna $ \int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt $ ma pochodną w tym przedziale prawie wszędzie równą $ f(x) $.

      Na odwrót, jeżeli funkcja $ F $ jest różniczkowalna w przedziale $ [a,b]\; $ a jej pochodna $ F\,^{{\prime }}(x)=f(x) $ jest ograniczona w przedziale $ [a,b]\; $, to $ f $ jest całkowalna w sensie Lebesgue’a

    • Zdefiniujmy pochodną z całki jako: $ \lim_{B \rightarrow x} \frac{1}{|B|} \int_{B}f \, \mathrm{d}\lambda, $ gdzie $ |B| $ oznacza objętość (czyli miarę Lebesgue) kuli $ B $ o środku w $ x $, a $ B \to 0 $ oznacza iż średnica kuli dąży do zera.

      W tym przypadku twierdzenie Lebesgue’a głosi, że całka jest różniczkowalna prawie wszędzie w $ \mathbb R^n $

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.