Advertisement
  • Twierdzenie Lagrange’a
    Jeśli dana funkcja jest ciągła w przedziale oraz różniczkowalna w przedziale , to istnieje taki punkt , że:

  • Twierdzenie Cauchy’ego
    Jeśli dane funkcje są ciągłe w przedziale oraz różniczkowalne w przedziale , to istnieje taki punkt , że:

  • interpretacja geometryczna jeśli poprowadzimy prostą przez dwa punkty leżące na wykresie funkcji , to styczna do wykresu w pewnym punkcie leżącym pomiędzy wybranymi punktami jest równoległa do prostej przez te punkty

  • Twierdzenie Lagrange’a dla funkcji wielu zmiennych:
    Niech będzie otwartym podzbiorem , a funkcją różniczkowalną. Dla ustalonych punktów , takich że definiujemy . Z twierdzenia dla jednej zmiennej mamy: dla pewnego . Zatem: oraz

  • Twierdzenia o wartości średniej dla całek

    • Pierwsze Twierdzenie
      Jeżeli funkcja jest ograniczona: , i całkowalna, to istnieje taka liczba , że: W przypadku gdy funkcja jest ciągła, tezę twierdzenia można wzmocnić następująco: istnieje punkt taki, że

    • Uogólnienie pierwszego twierdzenia
      Jeżeli funkcje są całkowalne, jest ograniczona: , a zachowuje znak w tym przedziale, to Jak poprzednio, w sytuacji, gdy jest funkcją ciągłą, w tezie twierdzenia można postulować istnienie takiego punktu , że:

    • Drugie twierdzenie
      Jeżeli funkcja jest monotonicznie malejąca i nieujemna, a całkowalna, to istnieje taki punkt , że:

  • Twierdzenie Lebesgue’a o różniczkowaniu całki.

    • Jeżeli funkcja jest całkowalna w sensie Lebesgue’a na przedziale , to jej pierwotna ma pochodną w tym przedziale prawie wszędzie równą .

      Na odwrót, jeżeli funkcja jest różniczkowalna w przedziale a jej pochodna jest ograniczona w przedziale , to jest całkowalna w sensie Lebesgue’a

    • Zdefiniujmy pochodną z całki jako: gdzie oznacza objętość (czyli miarę Lebesgue) kuli o środku w , a oznacza iż średnica kuli dąży do zera.

      W tym przypadku twierdzenie Lebesgue’a głosi, że całka jest różniczkowalna prawie wszędzie w

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.